Première Partie. Livre III

Mais puisqu'on a:

:{ = A,e + B,rj' + ne = o,

la formule précédente change en celle-ci:

|-;.Uf + .B.,)(^.-4,),

ce qui n est pas autre chose que notre formule (46). On s aperçoit facilement qu'elle peut aussi être mise sous la forme suivante:

d'où l'on tire, en la comparant avec l'équation (i6), la relation que voici:

(49) f«T = «ic-

Ayant obtenu ces résultats, nous allons mettre en évidence les équations

a*- + ^i ^ + -*» ar' '

qui découlent immédiatement des équations (47)- Il en résulte, après quelques réductions faciles, l'équation

d'où Ton tire, en introduisant les valeurs de T ^T^ et P^, en faisant C/ égal à zéro et en considérant la seconde des équations (ii) ainsi que l'équation (45')j la formule

-— = — cos J—-, — r sin J cos (t; — ir ) -^ > au av ^ 'a*,i

348 Traité des Orbites des Planèt^.

ou bien celle-ci:

— = — cos e/ — , — sm J sm [v — 2) cos [v — 2 ) rr • Par un calcul tout à fait semblable, on obtient Téquation analogue:

— ; = — cosJ sm J cos (v — 2) sm (v — 2 )-t- •

En ajoutant, à cette équation, l'équation précédente, il viendra:

ce qui est notre équation cherchée. Mais il convient de la mettre sous

dû dh

dû

une forme un peu différente, en remplaçant le coefficient de — par son

expression en i , i', 8 et 8'.

Dans ce but, rappelons-nous l'identité

et nous obtiendrons, en vertu des formules (21) du n** 53, Téquation

— 2 sin^ J' sin (v + t;' — 2 — 2")

sin i sin i' — j- sin i\\ -f f ) + - sin i'\î + f)

— -sini'sini''(i + f)(i + f)] cos(9 — 9')]sin (v + v' — 9 — 9')

+ -sini'(i +f)— -sint"(i + f)]sin(9 — 9') cos(v + v' — 9 — 9'). 2 21

Ensuite, en considérant les égalités

sin(v + v' — 9 — 9') cos (9 — 9') — cos (v +■ v' — 9 — 9') sin (9 — 9')

= sin (v — 9) cos (v' — 9) + cos (v — 9) sin (v' — 9), sin (v + v' — 9 — 9') cos (9 — 9') + cos (v + v' — 9 — 9') sin (9 — 9')

= sin (v — 9') cos (v' — 9') + cos (v — 9') sin (v' — 9'),