Première Partie. Livre III

ainsi que les formules

— = sin i cos (v — 0) ; -^. = sin i' cos (v' — 9'), on parviendra aux résultats que voici:

— 2sin-J'sin(t; + v' — 2'— T) =?^ + ?^.

On s'apperçoit facilement de la vérité du résultat indiqué en observant les expressions

— ^ sin i'\\ + f) cos (v — e') sin (v' — 9')

+ - sin i' sini"(i + f)(i + f) cos(9 — 9') cos(v — 9) sin (v' — 9'),

?^, = î?i;— ;sini\i +f)sin(v-9)cos(v'-9)

— ^sini''(i + f)sin(v — 9') cos(v' — 9')

+ - sini'sini''(i + f)(i + f) cos(9 — 9') sin(v — 9) cos(v' — 9'),

dont la première a déjà été signalée plus haut. En formant la somme de ces expressions, on retrouvera le résultat que nous venons de déduire relativement à — 2 sin - J^ sin [v + v' — I — I'). On est donc parvenu à la relation

(52) â7 "*" âv "" ah \av "*" âv /

Mais cette relation sobtenant encore d'une manière directe, savoir en introduisant l'identité

a cos ( V — v) , a cos (v — v)

av ' av

350 Traité des Orbites des Planètes,

dans Téquation

dû dQ ^ dS 1 9 C08 fl a 008 H

9v av' dco&Hl 9v av'

on s'est procuré une vérification utile, soit de nos calcula, soit de la conséquence de nos notations.

En différentiant, par rapport à 9 et à 9', la fonction h, on aura les expressions

= — a'S + l^^'^'V + f) <îOs(v — 9) sin(v' - 9)

a9 ^ av ' 2

+ - sin i^(i + f) sin (v — 9) cos (v' — 9)

— -sini'sini"(i +f)(i + f ') cos (9 — 9') cos (v — 9) sin (v' — 9*)

— isini'sini''(i + f)(i + f ) sin (9 — 9') sin (v — 9) sin (v' — 9'),

+ - sin i'\i + f) sin (v — e') cos (v' — e')

— -sinê'sini"(i + f)(i + f')cos(9 — 9')sin (v — 9)cos(v' — 9')

+ isini'sinê''(i +f)(i + f) sin (9 — 9') sin (v — 9) sin (v' — 9');

et maintenant, si Ton établit la somme des quatre dérivées partielles que nous venons de mettre en évidence, on obtiendra:

ah , ah , ah , ah av ^ av ^ a9 ' a9

Au lieu de l'équation (52), on peut donc employer la suivante:

a^ a^__a^afi w3; 3v • 3v' ao a9' '

qui permet une application très aisée.