Première Partie. Livre III

soient convergents pour toujours; il suffit qu ils soient convergents pendant un intervalle limité de temps, disons pendant quelques dizaines de siècles.

74. Par l'hypothèse que nous venons d'établir, les développements fondamentaux pourront être mis sous la forme générale

(■) (i)"=(r)VH.-.^i)-"c,-oo,if

OÙ les coefficients O^^ signifient des fonctions du rapport (-] .

Considérons d'abord le cas où m = i, et admettons la notation

En vertu d'un théorème bien connu, on aura sur le champ l'expression que voici:

ç(i) ^ 2 ^,^, / siny^^dy

Evidemment, on pourrait développer cette fonction suivant les puissances de a', et le résultat obtenu de la sorte serait, on le voit facilement, convergent, mais la convergence dont jouirait ce développement ne serait pas, toujours, suffisamment rapide. On s'aperçoit, en outre, que la méthode qui serait mise en usage, en abordant les développements de la manière indiquée, ne différerait pas, quant à son principe, dés méthodes de Hansen et de Backlund.

Pour rendre plus rapide la convergence de notre développement fondamental, je lopère suivant les puissances d'une quantité ^j déterminée par l'expression

358 Traité des Orbites des Planètes.

OU bien par celle-ci:

Il est visible que la fonction ^ prend sa plus grande valeur positive lorsque p est égal à ly et /?', à — oy'. En désignant cette valeur par ;fj, on trouvera: ^

Egalement, la plus grande valeur négative de / sera obtenue en mettant p égal à — îy et /?', à ly'. La désignant par — x^y ^^ aura:

En considérant que les fonctions diastématiques tj et oy' ont toujours des valeurs positives, on voit que les valeurs de ^^ sont toujours plus grandes que celles de ;fj, exception toutefois faite du cas où oy' est égal à zéro.

Comparons encore les deux modes de développer les fonctions (J^^:

a* ou suivant les puissances de a'(i + /), ou suivant celles de ix-

Par la supposition que - soit constamment moindre q\ie Tunité, la quantité d^, déterminée moyennant Téquation

est nécessairement positive et moindre que Tunité. On en tire: