Première Partie. Livre III

Maintenant, si Ton attribue à i — ^ ^^^ X ^^^^"^ P^^^ grandes valeurs, il sera visible qu'on développe: dans le premier cas, suivant les puissances d'une quantité dont la valeur inaxima est i — â^y et dans l'autre, suivant

les puissances d'une quantité qui prend tout au plus la valeur ^ (i — d^).

Tant que d^ est considérable à côté dejf^, la seconde manière de développer remporte sur la première, ce qu'on voit immédiatement. Cela établi, je fais encore:

en sorte que j'aurai:

(p-p'){2+p + p) fl +p\ «

{i+pY [i+p)'

En supposant toujours p et p' moindres que l'unité, la fonction ;k ainsi que ses puissances se développent suivant celles de p , p' et a. Mais ' avant d'entrer dans le détail de ces développements, j'introduis la fonction ;f dans l'expression signalée de O^K II viendra de la sorte:

/sin ^'" df )Ji — a* sin f>* + «'/ sin ^'

En admettant ensuite les notations

J {i-a«8inîP«}«

,l,n I » 3 » 5 ' • • (^^ ^) n+^i-H ^ai-H)

on obtiendra, en développant la formule précédente, l'expression

(7) c<;> = ri'''-rl''';f + rîV — ••••

Supposons maintenant, que nous ayons obtenu un résultat de la forme

% étant un entier, et les L^'i», des fonctions des indices et de la fonction <T\ supposons ensuite que Vexpression de O^} soit mise sous la forme

alors nous aurons généralement:

(9) c?i;? = -rl-ii:). + rV"-Z^^s!l-....

et en particulier:

/7I,» yl»*» v^.» rd) I yl,n Tca)

75. Les fonctions U^^^ que nous venons d'introduire sont des polynômes finis en o que nous pouvons nous figurer ordonnés suivant les puissances de cette quantité. En admettant les développements

v{p-P't2+p + p')y -tvkm /,»/>"' --i\TT7) L ÔTT)' J " ^^^■'•■'^'^ '

etc.,

on aura facilement l'expression générale que voici:

(I I) L%. = KZ' + Ki;> + K;->' + . . . .

Il s'agit maintenait d'évaluer les coefficients KJ'J' qui ne dépendent que des entiers i y g , s et s', et qui sont eux-mêmes des entiers. On les obtient en développant les formules précédentes, mais on les déduit plus aisément en considérant l'expression