Première Partie. Livre III

-Si nous introduisons ces valeurs dans l'expression

et que, d'autre part, nous admettions qu'on ait établi le développement (14) (ry («y -"'ci') = 1:2: ( i^(M , s . s')„,o - i^(n , s , s'),.o7' + i2(« , s , s')„., rj"

il devient indispensable d'exprimer les coefficients constants ii{n ^ s , s')^y moyennant les S.

Dans ce but, supposons d'abord:

lT(n) y. 2 I TT(n) /2

et nous obtenons facilement, après y avoir introduit les expressions de <T , ^% . . . , ainsi que le développement de --- iyVy ' ^^^ expressions suivantes:

Traité des orbites absolues. 47

370 Traité des Orbites des Planètes.

rjdi) = gi.M

Ui:.\,.o = «Si;-» + 2s:;.v,

ui:.\o., = («+ i)s:r + 2SI;»-',

ui:^,,.o = ^^^^^s:;:.-'> + (2« + os:;.-' + 4si;:.-',

.Ul^,,=^"+;X;+A>sy + (2„ + 5)SM-' + 4s:;r-,

(16) j u<:^.3.o = "^""i.'i^.g'-sy + »'s:;.v + 4(n + •)s;;.".-^ + ss:;.-',

+ 4(3« H- 9)Si;.".'^ H- 24S];.".'», U^::l,, ^(»+')(n + 3Xn + 3)s.,,o + («« + 6n + 9)S:;?-'

etc.

Il convient de remarquer que la forme générale des coefficients U est celle-ci:

(17) v'::::y = ro^T} + fi^>} + f.si:;- + . . . + ç,^,^t.r\

où, en employant la notation abrégée

on a désigné par f^o ' Fi ' • • • ^^^ fonctions rationnelles du nombre n et d'autres entiers, mais indépendantes des indices s et s'.

Mais on pourra aussi mettre les coefficients U sous une autre forme, en les représentant comme fonctions des transcendantes ;-]". En effet, si