Première Partie. Livre I
les deux équations, dernièrement mises en évidence, conduisent à celles-ci:
d'où l'on tire, en nommant g^ et \ les deux arbitraires,
g = g^ —fy^Bdv\ h = \ +fy^Bdv, et encore:
(25) p = sioPi + Ky^ — Vify^^^ + y^/viR^^-
Par Thypothèse admise, qui fut établie par Lagrange, non seulement la fonction p elle-même prend la même forme, soit que la fonction B soit égale à zéro, soit qu elle ait une autre valeur, mais il en est de même ^^ant à la première dérivée de cette fonction. C'est aussi à cette hypothèse que l'astronomie képlerienne doit son fondement théorique.
L'autre hypothèse qu'il y a lieu à examiner, est dès le début plus générale. En désignant par J une fonction, encore tout à fait indéterminée, nous allons mettre:
/ ^v dg . dh -^
relation qui entraîne la suivante:
\^'f dv dv^ dv dv dv^
De ces deux équations, il s'ensuit:
dg ^dy^ dJ ^
dh ^ dy, . dJ . ^i
d'où l'on tire
ff = ffo— y^^ —fy^^d^\ h = \+ y^J +fy^Bdv.
En formant, avec ces valeurs de ^ et de A, l'expression de l'intégrale générale, on retombe sur la formule (25), qui ainsi est indépendante de
40 Traité des Orbites des Planètes.
toute hypothèse relativement à la fonction J. Mais, à ce qui concerne lexpression de la première dérivée de la fonction /?, on aura maintenant un autre résultat, à savoir:
Bien que cette formule soit un peu plus compliquée lorsque J est différent de zéro que dans Thypothèse de Lagrange, il paraît cependant avantageux, pour ne pas dire nécessaire, de déterminer la fonction nommée de manière à rendre les expressions de ^ et de A aussi simples que possible. Aussi dans la théorie des inégalités séculaires exprimées au moyen de séries trigonométriques, les grands fondateurs de cette théorie, Lagrange et Laplace, n'onf pas insisté sur la condition que les premières dérivées des coordonnées d'une planète aient la même forme lorsque les éléments elliptiques éprouvent seulement des altérations séculaires que dans le cas d'éléments constants. C'est tout le contraire: pour exprimer les perturbations séculaires par des termes périodiques, une certaine partie de la fonction perturbatrice, dite partie séculaire, fut retranchée, de sorte qu'on pouvait établir les équ^,tion§
dh
dv ^ ^ dv
0 et ¥ s exprimant au moyen d agrégats de termes sousélémentaires du type [A) et du premier ordre.
Examinons si ces démarches étaient conciliables avec l'hypothèse >l — o.
Si, dans ce but, nous introduisons les valeurs de -7^ et -r- dans les équa- ' ' dv dv ^
tions (26) et (27), il se^a facile d'en tirer les résultats
En différentiant la première de ces équations, et en retranchant le résultat de- la seconde, il restera:
