Première Partie. Livre I
Si Ton supposait que les fonctions y^ et y^ fussent des quantités de Tordre zéro, et, que ^ et V ne continussent que des termes sousélémentaires du type [A) et du premier ordre, on conclurait facilement de Téquation obtenue que son second membre fût une quantité du deuxième ordre. Or, puisque nous considérons B comme un agrégat de termes sousélémentaires du type {B) et du premier ordre, il faut que J soit aussi un pareil agrégat du premier ordre.
Donc, de deux choses, lune : la fonction J peut être égalée à zéro, il est vrai, mais seulement à condition que les fonctions 0 ei W renferment des termes d*un autre genre que ceux du type {A)\ de Tautre côté, on peut faire contenir aux fonctions 0 et ^^\ ou, ce qui revient au même, aux fonctions g et h exclusivement des termes du type (-4), mais dans ce but, il faut, qu'on ait:
dJ i ^ \ i / d0 d¥\
On tire de là:
(3.) , = i/jM.-i/(y.g. + ,,^>.
dj
valeur qui, évidemment, est différente de zéro.
Si Ton introduit les expressions obtenues de A et de ^ dans les formules
(28), on peut exprimer les différentielles de g et h au moyen de la fonction B, On obtiendra de la sorte:
dg I d j
dv
dh dv
OU bien:
dh dv
Traité des orbites absolues.
42 Traité des Orbites des Planètes.
II. On parvient à déterminer la fonction J de plusieurs autres manières qu'en utilisant Tune des équations (26) ou (31): voici une voie conduisant très directement au résultat. Je me restreins toutefois à ne considérer quun seul terme de la fonction R,
En multipliant la seconde des équations (28) par i = y/ — i , et en ajoutant ce produit à la première des équations nommées, on obtient:
Supposons maintenant quon ait:
y^ = f{v) cos((i —çjv + d)\ y^ = f{v) sin((i — c)î; -f 0),
f{v) et d étant deux fonctions des termes périodiques du type (A); de ces fonctions, nous considérons la première comme peu différente d'une constante. Admettons ensuite:
et désignons par ^^ et p^ deux fonctions indéterminées, encore à notre disposition.
Maintenant, pour déterminer les fonctions g et A, admettons Téquation
(34) '-^^ = U' -ro- i9.)Me''-'''>-'', et nous aurons, en la retranchant de Téquation (33),
On peut déterminer les deux fonctions ^^ et ^^ qui sont encore à notre disposition, de manière à avoir:
frf{v)e'^'''^'^'^^-^^dv = {—iM+ N)é^'''''"^^^'^\ De la sorte, on aura, en vertu de Téquation précédente:
(35) ^ ^{Msia((i - a)v — B) + iVcos((i - a)v ^ B)\.
