Première Partie. Livre III

il est facile de conclure, en remplaçant toujours le produit (-) (t) par I — Xy l^s expressions

0[iii) m+il^ I w*m(m + 2) j, V I

et généralement:

Cette équation devant être identique avec la première des équations (27), on en tire le développement général

F(a ^ b y c y x) étant la série hypergéométrique de Gauss.

Nous voilà donc conduits à un premier résultat utile; on pourra remployer pour vérifier les calculs numériques exécutés d'après les formules du n° 79, qui donnent les j-^*"" exprimés moyennant les transcendantes f?'^\ Des nombreuses formules de transformation qu on a établies relativement aux séries hypergéométriques, il n y a lieu de faire application, quant à présent, que de celle-ci:

392 Traité des Orbites des Planètes.

Il en résulte la formule

(40) i=,rr =

dont Fapplication le plus souvent et surtout si n est un grand nombre, sera plus aisée que celle de la formule (39).

Mais en partant de la première des formules (27), il sera facile de trouver les développements demandés sous une nouvelle forme. Pour y parvenir, multiplions la formule mentionnée par

ce qui donne un résultat de la forme

On pourrait, il est vrai, représenter les ^ au moyen de séries procédant suivant les puissances de a^, mais, pour le calcul numérique, il convient mieux de se servir des formules

jQm,rt -^m,ii

etc.

Maintenant, pour établir le développement

(4 .) (ITÇ)"^»"" ^ ^^^ ^""'"'' + ^'-"'''^ + ■ • »"'

on renouvelera les procédés des numéros 74 et 76.