Première Partie. Livre III

On formera donc les fonctions

b:;; = âru'} — »rLi'} + . . . ,

ce qui donne d abord:

Ensuite, si Ton fait:

on aura, en vertu de l'équation (ii),

AT = F^'' + ^3^'^^ + f:;;'V' + . . . ;

après quoi lexpression (41) s'obtiendra immédiatement. Pour obtenir un résultat de la forme

(42) (:)"(i)"-""c<r = rZlfi-Cn, s, 8')o,o - û"(n, s, s'),o7' + • • .)/>>"',

il ne nous reste quà introduire dans l'équation (41), les valeurs de a,(T^,... données dans le ni^méro 76, et à multiplier le résultat par

82. M. ScHEiBNER, dans un mémoire de Tan 1853, a montré comment on peut exprimer les coefficients du développement de la fonction perturbatrice, tant qu'ils dépendent du rapport a, au moyen des transcendantes p. ^ Dans les numéros précédents, j'ai poursuivi les mêmes intentions, sans les regarder, toutefois, comme l'objet principal de mes transformations. Les procédés du dernier numéro ont abouti à exprimer les fonctions O^^ ainsi

que leurs produits par (-] (-) , moyennant les transcendantes 7* et tJ, qui

* Pour les détails du procédé de M. Scheibker, on consultera son mémoire: Ueber die Berechnung einer Gattung von FunctioneD, welche bei der Entwicklung der StôrungsfunctioD erscheinen. Gotha 1853.

Traité de* orbites abtolueê, 50

à leur tour se ramènent, par Ifes équations (6), (27) et (28), aux transcendantes ^. Le calcul numérique, si Ton utilise ces dernières formules, est, il est vrai, aisé et conduit aux résultats dont Texactitude n est pas amoindrie par Timperfection des formules, mais ces formules ne permettent, m étant plus grand que Tunité, qu'un calcul de proche en proche. Or, puisqu'il pourra être utile de disposer des règles d'un calcul direct, je vais chercher les expressions s'y rapportant.

En mettant, pour abréger, k^ à la place de a - - , de sorte qu'on a :

on parvient facilement à l'expression

(0"(?)"^""" ^ ? /^ ' ~ '*• '"' ^ "^ *?r^cosn6rf6.

Cette formule, se transformant en vertu d'un théorème bien connu de Jacobi, on en tire:

ç,(,„) ^ m(m + 2)...(m + 2(n-i))a"*+^ C / sin $ y»