I.3...(2l»-I) TT / Wl 2^,C08f+^î

Cela étant, si nous employons la substitution de Landen, en posant:

cos^ = k^ sinj^'' + cosj^y'i — feîsin^',

d'où il s'ensuit:

sin ^ = sin {^(^/i — ^î sin ^' — A:^ cos ^), yji —2k^co&$ + k] = Vi — Arîsin^' — k^ cos f?

et

yjl — 2Â-J COS f + /cj sji ^ k\ sin f?*

la formule précédente devient:

/ \ p(m) ^(wi + 2)...(m + 2(n— l))a*»^"" /^ 8iDy>^"(?y \\li — h\%m(p*+k^co%f ^^^^ " ~ i.2...(2n-f) 7: J y/i-ikîsin^i r-*î

Première Partip. Livre III, 895

Pour m égal à Tunité, on retombe dans l*expression de C^^\ que nous venons de donner dans le numéro 74.

Considérons ensuite le cas général où m a une valeur impaire et positive, mais d'ailleurs n'importe quelle. Posons 2m + i au lieu de tn et prêtons attention au fait que tous les termes ayant comme facteur une puissance impaire de cos^ disparaissent par Tintégration. L'expression (43) se met alors sous la forme suivante

p(2»i+i)__ (2nt+i)(2m + 3)...(2m + 2yi— I) 2a3'»+*+» /* sipy^^diP ~ i.3...(2n-i)(i-fc;)«'» n J ^i-jkîsï^

(i — kl smç>^)

^2m(2m-i)^^^, sin j^y-^ftî cosj^' + ..

Il s'agit maintenant d'obtenir le développement suivant les puissances de — Xf ^^^ l^^^s coefficients ne sont autre chose que les transcendantes jf*""] et puisque les termes sous le signe j se mettent sous la forme

; , ce qui est immédiatement visible, les ;- seront exprimés

(i — a'sin^*)' moyennant les p.

En inspectant la formule précédente, on voit tout d'abord que les termes figurant entre les parenthèses sous le signe j constituent un polynôme fini en ;f, du degré m. On aura en effet:

j(i Jc\ sin ^Y + """^^^^p-^kl cos{^^(i — k\ sin (p^^^ + . . .

= A^^^ + A[-'x + ^''^Y + • • • > si Ton admet les notations

^<-) = (i — ot^sinf^y + ^^^<^^^^"-^a^cosjg^(i — a'sinj^^-^

H ^ ^a^cosç^Vi — a mïç>r + • • •

396 Traité des Orbites des Planètes.

^Ç") = - a' sin fj '( I — a' sin jp ')"-»

+ ?^^=1^ «' cos ^'[- ( I - a' sin i^r-

+ ^~ a' sin ^*(i — a' sin f*)"*"*!

, 2tn(2m — l)(2m — 2)(2m — 3) , .f , » • î\« «

-\ ^^ '-^ ^a* C08 jpM — 2(1 — a* sin jp )""'

. 2m{2fn — 1)0 «r ''^ — I 9 • 9/ a • a\»i Q

H ^ ^a'cosf^' ôt'sinf^^i — a^'sinj^y*^

, (m— i)(m — 2) 4.4/ î . îNm-sT

, < 2m (2m — - i)(2m — 2)(2m — 3) 4 iVf 3 • 2\m-2

2 ^î^-Zli a' sin j5'(i — a' sin ^y-'

^r = "«('"-^K^-^) «• sin ^."(1 - «' sin ^r-'

+ ElîLliî^ZLL) ,» cos ^f- (!ÎLZ^-Z£) «^ sin y\j - a» sin i^y-

, (m — i)(m — 2)(m — 3) « • e/ 9 • 9\« il

+ ^ \-^ — « Sin f ( i^ — a' sm jp ')"»-*

H ^ p^ ~ a* cos ^^\ a' sm {î)^( i — a' sin j^')"-'

^v ^ ^ ^ -t^a^sm{î>'(i —a^sinjp ')'"""[

-f- . . . , etc.