J {,-a«8in^f V {l-a'8in^«j
Is
etc.
J \l\ ' — a* siu <p*
398 Traité des Orbites des Planètes.
Les diverses intégrales entrant dans ces formules s expriment aisément au moyen des transcendantes ^*^: quand m est égal à i ou à 2, on déduit facilement les valeurs
.= (I +a^)^;^-2a'^;ii,
2 / Ao mnf'^^dip
= (I + 6a' + «V»' - 8(a' + «*)/Si';. + Say.'i.,
2(3«» + «*)/S!.'> + 8(«' + 2aV«it - i6«*y^'l„
On tire de là les expressions
pO> = i«»[(i + a')^U - 2aXi.] + «'[/?»" - 2^:Ul
etc.
^^ = (I + 6a' + «Vn"- 8a'(i + «^«'1. + ^oi\^U,
pf = 1^«<[(, + 6«' + «^)^«, - 8a'(i + a»)/Sî:i, + 8aXIJ
+ i «^[2(3 + « V«ii - 8(1 + 20y5$.'i, + lôaXia] + « V»" - 8/^„'i, + 8y9<„U
+ ^«*[2(3 + «Vi'i. - 8(1 + 2a')/9<«, + i6«X^,]
etc.
En introduisant, finalement, dans lexpression précédente de C^''"^*^, le développement
(I ^î)tm (I ««)«"» .
im g' 2m(2m + Q / «' V 2 1
T I — a'^ "^ TTâ \i — «V ^ * ' r
on parviendra, après avoir effectué la multiplication des deux séries procédant suivant les puissances de — ;f , au développement dont les coefficients sont identiques avec les ;^'". On aura ainsi:
2m(2m+i) /al y cm) . I
Telle est lexpression demandée, réduite à la forme la plus simple. On pourra l'employer avantageusement pour vérifier les résultats obtenus, soit par la méthode du n^ 79, soit par la formule (39).
83. Disons finalement quelques mots sur les méthodes d'évaluer les transcendantes ^*^ , M. Masal, dans ses tables de la transcendante dont il s'agit, en a donné, il est vrai, les valeurs numériques dans une étendue telle quelles suffisent généralement aux demandes du calculateur. Néanmoins, il peut arriver qu'on aura besoin d'autres valeurs de notre transcendante que ne donnent ces tables, ou bien des valeurs calculées avec un plus grand nombre de décimales. Pour de tels cas, voici les formules se prêtant le mieux aux calculs numériques.
En partant de l'équation (5), on déduit les développements bien connus que voici:
n(.)^ i»3-5»>»(2n— I) liai ,
■^ 2.4 (2n + 2)(2n + 4) /^ Dans le second, on a employé, pour abréger, la notation
Voilà les formules appropriées au calcul d'une transcendante isolée. Mais il s'agit le plus souvent d'en calculer une suite appartenant aux valeurs consécutives des indices. A cette fin, on remarquera la relation
/%'+" = /sj:^ + «'/3lt^, •
qui s'obtient facilement par la définition. En appliquant cette formule successivement, on obtiendra celle-ci:
Qu'on fasse attention qu'une erreur affectant les valeurs de yS^+i , ^„+î, ... et de ^^tv^ n'entrera que diminuée dans le résidtat du calcul.
On pourra encore signaler la relation suivante entre trois ^ consécutifs:
o = (2n + i);9i.'^- [2n + 2 + a\2n-s+ 3)]^;^, + a\2n-s + 4]/Si'l,.
