Première Partie. Livre III
Le calcul d après cette formule est généralement moins aisé, mais on peut la remplacer par une fraction continue servant à calculer, de proche en proche, les rapports de deux transcendantes consécutives.
En introduisant les notations
^"-" 2n+i '*"'^"+" on obtiendra de la relation signalée celle-ci: '
qui s'écrit aussi de la manière suivante:
De cette formule découle immédiatement la fraction continue que voici:
fn
fn^v^n^v
dont Fapplication numérique est souvent très avantageuse. On peut encore y remarquer que, pour de grandes valeurs de n , tf„ tend vers la limite i +a'.
Cest là lalgorithme introduit par Hansen qui s'est servi, d'ailleurs, dans le cas où la fraction mentionnée cesse de converger suffisamment, des recherches de Gauss sur la série hypergéométrique.
A peine est-il nécessaire de rappeler que quelquesunes des transcendantes ^'^ s'expriment, d'une manière très simple, moyennant les intégrales ellip-
Traiti des orbites absolues, 5 (
402 Traité des Orbites des Planètes.
tiques complètes de la première et de la deuxième espèce. Mais il ne faut pas passer sous silence que M. Harzer, dans son mémoire x>Untersuchungen ùber einen speciellen Fall der drei Kôrper» que nous venons de citer, a employé, en suivant une remarque de M. Bruns, la méthode des quadratures numériques pour le calcul des transcendantes ^. Dans certains cas, cette méthode paraît, en effet, supérieure aux méthodes purement analytiques.
Quant aux transcendantes ;-, on remarquera encore le rapport entre celles-là et les coefficients du développement
{ I — 2a cos Jï + a'} ^ = - A'I' + Zc6<;> co^nH.
On a d'abord:
doù Ton conclut, en comparant cette expression avec Téquation (39), l'égalité
Les ;-J"'" s'expriment moyennant les dérivées des transcendantes c6^^\
2" Je ne m'y arrête cependant pas, vu que les relations entre ces deux genres de transcendantes ne n#us seront pas utiles dans la suite, et quelles ne sont pas assez simples. Quant à une propriété importante des dérivées mentionnées, il y a toutefois lieu de consulter les notes de M. M. Tisserand, Callandreau et Darboux, toutes les trois insérées dans le tome XC des comptes rendus de lacadémie des sciences de Paris.
84. Si Ton avait calculé la transcendante y9 avec une valeur de a non parfaitement exacte, et qu'on eût obtenu en conséquence un résultat un peu erroné, il serait avantageux, pour parvenir à Ta valeur exacte, d employer des formules donnant la correction due à Tincrément de a, au
