CHAPITRE III
Exposition détaillée du calcul des coefficients du développement de la fonction perturbatrice ainsi que de ses dérivées partielles.
85. Les équations différentielles que nous allons traiter dans le livre prochain contiennent, dès labord, des termes dépendant des quatre
dérivées partielles D„ i{ , -— , -— et -— . Mais au lieu des trois dernières
dérivées, nous verrons toutefois apparaître, par les transformations successives, les produits suivants:
desquels il convient de chercher, immédiatement, les développements.
Il est bon de rappeler tout d'abord l'équation (25) du n° 67, en vertu de laquelle on écrira, au lieu de l'expression (i), celle-ci:
£u outre, si nous considérons la relation
nous pouvons remplacer les formules (2) et (3) par les suivantes:
Les dérivées partielles entrant dans les formules (i), (2), (3) ainsi que dans (T), (2'), (3'), s'obtiennent de deux manières différentes: ou moyennant des différentiations directes, ou en employant les valeurs
fi'rr'
I I 3 CO8 ff A' r") av '
ah ~"
fx'rr'
^3 COS Uy
Evidemment, de ces formules, les deux premières s'écrivent aussi de la manière suivante:
r^=.— /£--+- COS £f,
3J2 a COS H
ah av Avec les expressions signalées, on aura facilement celles-ci:
jy ua t na , ,
i-J-jcos/r,
(\ /"■.V'I ' ' \dco8H
dont les deux premières se mettent sous la forme
in
F = — 7^— ï + -Rcoslf, (c) A r
3 COS ff 9v *
En introduisant, dans ces formules, le développement (i) du dernier chapitre, nous trouverons les trois fonctions P , Q , R développées suivant
406 Traité des Orbites des Plauètes.
les cosinus des multiples de -ff, Texpression de la fonction Q toutefois
renfermant le facteur , qui se remplace facilement par une fonction
de V et v', en vertu de Téquation
a cos H . , -V , 9h
— - — = — sm (v — v') + -- .
Mais les séries obtenues de la sorte, on les doit convertir en dautres ayant pour arguments v et v' au lieu de H. Dans ce but, on pourra employer deux procédés différents: soit la substitution des expressions des cos nH que nous avons mis en évidence dans le deuxième chapitre du livre précédent, soit le développement suivant les puissances de h, développement que nous avons entamé pareillement dans le chapitre mentionné. Il peut se présenter des cas, il est vrai, où ce développement n'est pas toujours convergent, mais lorsqu'il s agit des planètes principales, nous admettons que ce cas n'aviendra pas. Au reste, quant à la légitimité de cette hypothèse, il y a lieu de rappi^ocher du commencement du chapitre précédent, ce que vient d'élucider M. Tisserand dans son mémoire inséré dans le tome XV des annales de lobservatoire de Paris.
Supposons donc qu'on ait développé, dès le début, la fonction perturbatrice de la manière suivante:
(7) ^ii= îF. + w,h+ wy + ...,
Wq étant ce que devient ~ ii quand on y met v — v' = w à la place de
H, et les autres TF^, les expressions des fonctions W^ du n'' 68 quon obtient en partant de la valeur indiquée de W^.
Or, en posant, conformément à Téquation (35) du n° 69,
(8) W^ = W^^' -f iWY^cosw + 2WT^œs2w + . . . ,
on trouvera:
(10) ^-^ = — 2 W\'^^ sin w — /^W["'^ sin 2w —
