COS W + 2 COS 2W

dp dp

Déjà dans le n^ 70, j ai prévenu le lecteur, que la fonction totale ii sera développée suivant les puissances de f et f, en sorte que ce développement aura la forme de Téquation (40) du numéro cité. En conséquence, il faut représenter les fonctions W^ , F"*^ , Q^"*^ , R^*"^ au moyen de pareils développements. Soit maintenant M une de ces fonctions, on aura, conformément à l'équation que nous venons de mentionner, un résultat de la forme

et on comprend sur-le-champ que les divers Jlf^^. s'obtiennent moyennant la formule générale

, , ^ I a^-^*'3fo.o

^^4j ^^M' - 1 .2 . . . ^. I . . . ifc' a(/>)*a(/>p' *

Les différentiations demandées s'effectuant aisément, il n'y a pas de difficulté quant à la formation des coefficients du développement (13). La fonction ilfo.o finalement, n'est autre chose que ce que devient M lorsqu'on y change p et p en (/>) et {p).

408 Traité des Orbites des Planètes.

86. Supposons maintenant que les M^^f soient mis sous la forme des équations (14) et (42) du chapitre précédent Nous écrivons alors:

(15) M,.,.- i;2:{M"'(/t,Â;',n,s,s')o,o-iW'"(A;,A^',»,s,s'),,«oy' + ...

+ itf" (Â;,Â;',«,s,s')«.,3y"~...

OÙ les M^'^\k , fc', w, s , s\y désignent des coefficients dépendant de nombres entiers ainsi que des transcendantes /• ou fl. En premier lieu, nous allons admettre:

Wq signifiant la valeur de - i2, en y supposant h , f et f ' égaux à zéro.

Nous aurons alors, en supprimant les indices w , A; et k', tous les trois étant égaux à zéro,

(16) W::^ = Ti:[Q{n , s , s')o.„ -Q{n,s, s'),„7' + • • MpTipY ,

la fonction totale W^ étant donnée par l'équation (8). Il s'ensuit de la formule signalée la suivante:

^= Z2:(s+i){i2(n,s+i ,s')o.o-fi(n.s+i ,s'),,oy'+...

+ ...}(/>)•(/>')'■• Cela étant, si nous admettons la notation

(1 7) J^.n»' = - ZZ|P(n , s , s')«.„ - P(» , s , s'),,oy' + . . .

+ ...i(/>)vr,

nous aurons, en comparant les deux derniers développements avec la première des équations (12),

(18) P(n,s,s').y = (s+ i){i2(n,s+ i , s'),. + ii{n,s+ i , s').^,y|.