Première Partie. Livre III

Reprenons ensuite Téquation (34) du chapitre précédent. En y mettant (p) et (/>') au lieu de p et />' nous aurons

(19) TFl-' = rrjr-Cn, s, 8')o,.- r-(n, s, s'),.,7' + • ••)(/>)•(/>')•',

équation d'où dérive la formule (16), en mettant dans celle-là m égal à zéro. Par la formule (35) du n** 80, les coefficients ^^{n , s, s'\y sont exprimés moyennant des séries procédant suivant les fonctions i2(w + wi + 2^ , s , s')^^, p ayant successivement les valeurs des nombres entiers, à partir de p égal à zéro. Mais bien que les séries mentionnées soient toujours convergentes, cette convergence peut être extrêmement lente, d*où naît la nécessité de chercher d'autres expressions représentant les coefficients dont il s'agit. Dans ce but, écrivons l'équation (42) du n® 81 de la manière suivante:

+ ii-in , s , s')..,3y"

ce qui revient à donner à l'indice m, dans les termes du membre droit, une signification un peu modifiée. En introduisant cette valeur dans l'équation (36) du n^ 80, on obtiendra l'expression que voici:

1.2. ..w a^Vl + pj \i +p J X 2:i:{û'»(n,s,s')o,o— i2'»(n,s,sOM7'+ ^pV • En effectuant la multiplication par

= 1 — mrj^ +

2 1 rn{m— i) 4

vx I I ^(^ + 0 2

TrcMé dos orbites absolues.

410 Traité dee Orbites des Planètes.

et en comparant le résultat, après y avoir mis (/?) et [p') au lieu de p et p\ avec Téquation (19), on sera conduit à la formule générale:

X U" (« , S , s'),..- - mOr (n , 8 - I , s'),,.- - mia" (n , s , s'- 1 ),.,. + îîii^ i2»(n, s- 2 , 8'),y + mmia-Cn, 8- i , s'- 1),,.

-wir(n,8,s'-i),,y

— îW[fi'»(«, S, 8'Xy,-»»fi'-(n, S- I , S'Xy,- . . •]

Cette formule étant de la même nature que celles que nous allons déduire prochainement, je trouve convenable de Tinsérer à cette place, bien quelle appartienne aussi au n® 80.

87. Mettons, maintenant, en évidence les coefficients du développement des trois fonctions que nous avons définies par les équations (12).

D abord, si nous différentions, par rapport à (/>), Téquation (19), il viendra :