Première Partie. Livre I

Après avoir différentié les relations précédentes, nous en tirons quatre équations différentielles conduisant à des valeurs réelles des quatre fonctions ^Q , ^^ , M et N'. Les voici :

rnm= (^-c + ^O^ + f.

( , d<?\,, dM

Des deux dernières de ces équations, on déduira facilement les expressions de M et de iV, qui prendront, évidemment, la forme d'agrégats de termes du tjpe {A), pourvu que f{v) et 6 soient de tels agrégats. Les fonctions M et N étant connues, on aura immédiatement, soit les produits Pofi'^) ®* ¥^if{^) 4^^ entrent dans la formule (34), soit les fonctions p^ et ^j, dont on n'aura, cependant, pas besoin. U serait facile d'étendre lapplication de la méthode exposée aux cas de plusieurs termes entrant dans lexpression de B.

12. Si la fonction B contenait des termes dépendant des fonctions ^ et ^, les méthodes que je viens d expliquer, dans les derniers numéros, n'amèneraient des résultats qu'au moyen d'approximations successives; pour juriver directement au but, voici la manière de procéder.

Keprenons Téquation (24), après avoir effectué la différentiation du dernier terme de son premier membre. Nous aurons ainsi:

(36) y^d+y^d^^ + ^{j^Tv+-ÈTv) = ^^

et si Ton y introduit les valeurs de y, et de y^ que nous avons présumées dans le n^ précédent, il en résultera:

Traité des Orbites des Planètes.

.:^ad'g

f'{v) cos<? - (i - c + f^jnv) 8in<?j|cos(i - ç)v — f'{v) sin <? — (i — ç + ^)f{v) cos 0 l^sin (i — ç)v f'{v)sm0 + ^i — c + ^y(v)cos^U;COs(i — <:)v

+ 2 |/-'(î;) cos » — ( I — C + ^^f{v) Siu ^

;j-8m(i — ç)t; = iî.

Quelle que soit la fonction R, nous supposerons toujours qu'elle ait la nature d'un agrégat périodique du type

e cos((i — ç)v — E)y

s cos JE et esiniJ étant des fonctions du type [A) y c'est-à-dire, des fonctions s exprimant au moyen des termes du type {A), Donc, si nous posons:

R = Scos{i — ç)v + rsin(i — ç)Vy

S et r seront des fonctions du type (-4).

En introduisant cette valeur de R dans l'équation précédente, et en égalant séparément à zéro les coefficients de cos(i — ç)v et de sin(i — c)v, on parvient aux équations

/•(t;)co8<?g+/-(.)8in<?^: + 2

f'(v)cos0-(^i-ç+2)nv)sind + 2\^f'{v)sm0 + [i -ç + ^)f{v)cos0^f^ = S,

f{v)Mg, + f{v)cos0^^,-2 [/•'(t;)sm<?+(i-c+ ^) f{v)cos0^^^

+ 2\r{v)co,0-[i-ç + ^)f{v)sin0\f^=r,