Première Partie. Livre IIT

88. Les développemeDts que nous venons d'effectuer^ dans le chapitre précédeut, et dont les coefficieuts sont des fonctions des transcendantes j ou ï9^ se rappoi'tent seulenieut à la partie principale de la fonction per-

turbatricej cest à dire au terme — entrant dans l'expression de ^A jy Pour

rendre complets les développements mentiounéâj il faut^ au terme déjà

considéré^ ajouter celui-ci:

7^ cos U =^

-]^(cosw + h),

supposant toutefois qu'il s'agisse de TinHuence de la planète extérieure sur la planète inférieure. Dans le cas opposé, nous désignerons la fonction perturbatrice par ià' et nous mettrons /xi à la place de //, /4 étant ce que devient fi* quand on change la masse lUf de la planète extérieure eo celle, w^i, de la planète inférieure. Nous aurons alors:

Occupons-nous d'abord du premier cas.

En remarquant Tidentité

^cos/f = oe'^ \^\ m^U,

oû aperçoit facilement qu'il suffira, afin de tenir compte du terme indépendant de A, de remplacer, dans l'expression de -^ ii donnée par Téqua*

tion (i) du n*' 74, la fonction C^^^^ par CV — ^a\ ce qui, en vertu de

Téquatiou (7) du numéro cité^ revient à remplacer ;-J'* par f/ — -et*-

Les incréments à ajouter aux coefficients ii{i , s , s')^^^. s'obtiennent facilement au moyen de Téquatiou (24) du n"* 78. En effet, si Ton y met

a^ au lieu de yY , et qu'on désigne rincrémeut dont il s'agit par

Aii(i , s , ^\,^'^ il résultera:

Ai2(i,6,s')v = --;«X':

414 Traité des Orbites des Planètes.

Quand on a déterminé cet incrément, il sera facile, en utilisant les équations (18) et (24), d obtenir les expressions des quantités quon doit ajouter aux coefficients P(i , s , s')^y et Q(i , s , s'),,,,' communs aux développements, tant des fonctions (i — 7]^)P et Q suivant les multiples de Jï,- que des fonctions (i — îy^)F^^ et Q^®^ suivant les multiples de w. Mais quant à Tincrément de la fonction K, dû à la seconde partie de la fonction perturbatrice, il est visible qu'il s'exprime moyennant la formule

(32) 'Aar = -/^,

Donc, si Ton avait développé la partie principale de ^ tt suivant les multiples de H y seulement le terme indépendant de II aurait été altéré par la seconde partie.

En développant le second membre de l'équation (32), il résultera

(33) ^AR = -aXi +^){i- 3P + 2p'

+ ^p'- àpp' + p"

— 10^' + i2^y— zpp'^ + 15/ — 2o/>y + 6/>y*

a étant la fonction — i -f [ %A , dont nous avons donné, dans le n®

76, le développement suivant les puissances de îy^ et de ïj'^.

L'expression de AR est donc ramenée à la même forme que celle des fonctions F„"*^ , Qî,"*^ et \\^\ et on comprend que seulement la fonction B!^^ est altérée par l'incrément AR.

On peut encore remarquer que les incréments AP et AQ s'expriment aisément au moyen de l'incrément AR. On tire, en effet, des équations (i'") et (2'") les expressions suivantes:

(i — iy*)AP = (i +/o)ARcosif, a C08 ff