Première Partie. Livre III

de mettre en usage par les équations (21), (23), (25) et (29). Cependant, très souvent il paraît préférable de chercher cette dérivée moyennant la

différentîation directe, après avoir substitué, dans le développement de -, ii ,

les valeurs de (/>) et de h. De ces valeurs, celle de (/>) est donnée, comme nous savons, par la formule

{p) •= ly cos {y — G} — {tt — T)), d'où il vient:

{PY =-^r]' + '^7)'cos2{y — S> — (-— P)),

{pY = Iv' cos(v — fi) — (TT — D) + '-7j' cos3(v — fi) — (;r — D), etc.

Quant à la valeur de h, nous lavons donnée à plusieurs reprises: d abord, dans le n*' 47, par les équations (4) et (5). On y a aussi donné les expressions de la deuxième et de la troisième puissance de h, en ne considérant, toutefois, que la principale partie de cette fonction, ce qui suffit le plus souvent, notamment dans le cas des planètes principales.

En ne tenant compte toujours que de la partie mentionnée de h , nous aurons, en vertu de l'équation (5, a) du numéro cité, l'expression

(59) h= 0Q cos (v — v') + 0, cos (v + v') 4- 0, sin (v — v') + 0^ sin (v + v'),

0^ y 0^ , . . . étant des fonctions restant inaltérées des différentiations D^ et D^', et dont voici les expressions:

(60) 0,-=-'^{i +f)/'-i(i + f) 7'» H- i//' COS (*.-#;-((? -G"))

+ ^(i +f)(i +f')r/"[i +cos2{»,-K-(G-G'))],

(60') 0, = - (1 + f) l' cos 2{ê/—G)-\--{i + f) Z" cos 2{»{ — G') — ^ ir cos (*, + *; — (? — G')

— 1^(1+ f)(l + î')rr\cOS 2(*. -G) + cos 2{»[ - &)i

424 Traité des Orbites des Planètes.

(60") 0, = \ ir sin {», -/^[-{G- G'))

+ 1^(1 + f)(ï + r)pr' sin 2(*, ^; ((? &))

(60'") 03 = - (i + f) /' sin 2(i9j — (?) + - (1 + f) i'^ sin 2(^; — &)

— \ll* sin (i9i ^ê[ — G — G')

— (i + f)(i + f')/'/''[sin 2(,9j — G) + sin 2(i9; — G')]-

Dans ces formules, on a employé, pour abréger, les notations du n** 32, savoir:

f^,=»+ ii — (d\ »[ = »'+ Q' — &.

Evidemment, après avoir mis la fonction h sous la forme (59), il sera très facile d'effectuer les' multiplications que demandent les formules (7) et (8), (11) et (12), ainsi que les formules analogues relativement aux fonctions P', Q', R' et aux dérivées D^Q et D^ ii\ On aura en effet, pour en donner un exemple,

(61, a) h cosn(v— v')= - 0^[cos(n — i)(v — v') + cos(w + i)(v — v')]

+ - 0, [cos ((n— I ) V— (» + I ) v') + cos ((w + I ) v— (n— i ) v')] + l <^2[— sin (« — 0(v — V) + sin (n + i)(v — v')]

+ i 0^[— sin((n - i)v — (n + i)v')

+ sin((w + i)v — (n ~ i)v')],

(61, b) h sinn(v— v') = ^ 0ç^[s\ïï {n — i)(v — v') + sin (n + i)(v — v')],

+ i0j[sin((n-i)v-4w+i)v')+sin((n+i)v-(w-i)v')]

+ - ^^[cos {n — i)(v — v') — cos (n + i)(v — v')]

+ l ^zl'^os ((w — I) v — (n + I )v')

— cos ((n + i) V — {n — i)v')].