Première Partie. Livre III

On comprend encore que les puissances de h, ainsi que les produits de

ces puissances par ^^ ^^ ^ ? se forment aisément et, que les multiplications

de ces puissances ou produits par cosn(v — v') ou sinw(v — v') s opèrent sans difficulté.

Mais au lieu de Fexpression (59), on peut aussi, dans certaines occasions, employer la forme de h qu'on a donnée au n^ 5 1 , forme qui ne conviendra pas, il est vrai, quand il s'agit de former les dérivées partielles, par rapport à V ou à v', au moyen de différentiations directes. Mais à certains égards, la forme du numéro mentionné nous rendra des services importants. Je ne parlerai, quant à présent, que d'une seule question dont la solution s'obtient aisément en employant la forme mentionnée.

On sait que l'expression complète de h renferme des inégalités périodiques des fonctions j et j' dépendant des configurations des planètes et s'évanouissant avec leurs masses, inégalités qu'il convient d'appeler inégalités anastématiques. Or, ces inégalités formant des incréments à ajouter aux parties élémentaires de j et j', c'est-à-dire, aux quantités que nous avons désignées, dans le n*^ 51, par (j) et (j'), on parviendra le plus promptement possible à détacher, de la fonction totale h, la partie qui dépend des incréments r7j et <?j', si l'on a exprimé h par j et j'.

Désignons dorénavant par (h) la partie élémentaire de h, en sorte que (h) sera la fonction déterminée par l'équation (4) du n"^ 47, et, par ^h la partie de h qui disparaît avec les inégalités anastématiques: nous aurons alors:

Cela posé, en consultant l'équation (12) du n° 51, on reconnaîtra tout de suite que la partie ^h sera donnée par là formule

(63) àh = M,âi + M[oY + N,^^ + J\r;g-'

+ P.oY + P[oT + QA§ + Q\â^f} + ^.«3«Y + • ■ • ,

les M^ , M\ , iVj , . . . étant donnés dans le numéro cité.

Afin de tenir compte, dans le développement de la fonction perturbatrice ainsi que dans ceux de ses dérivées partielles, des termes dépendant

Traité des orbites absolues. 54

des inégalités anastématiques, il faut développer les expressions (7), (11), (38), (44) et (56) suivant les puissances de dh. Ces développements s'effectuant d'une manière très simple sans qu'il soit nécessaire d'en donner une explication détaillée, je les passe sous silence.

Quant à la fonction (h), il faut encore observer qu'elle n'est pas tout à fait identique avec h donné par la formule (59), vu qu'il manque les petits termes sousélémentaires qui dépendent des fonctions (C) et (C), termes qu'on a mis en évidence dans l'équation (4) du n® 47.

94. A la fin du chapitre présent, je vais mettre un résumé succinct des développements établis, et fixer le système des indices, dont le nombre est assez grand.

Soit N une des fonctions - ii , P , Q , . . . , nous allons d'abord établir

le développement

auquel il faut ajouter, dans certains cas, un terme qui paraît multiplié par

— ou par — 7 . Il ne sera pas nécessaire de tenir compte, dans cet exposé,

de ce terme. En introduisant, dans la formule (a), l'expression complète de h, on considérera, d'une manière tout à fait rigoureuse, l'influence des inégalités anastématiques.

Cela étant, nous allons développer la fonction N^*"^ suivant les puissances et produits des inégalités diastématiques, en établissant la formule

+ ^yoy + N^^:^âpoy + ...

où j'écris, pour garder plus de symétrie, âp et dp' au lieu de (i — tj^^ et (i — 7'^)c', c'est-à-dire, au lieu de R et de R.

Maintenant, je puis omettre tous les indices, en considérant les termes des divers Ni"i^ comme formant des groupes isolés qu'il faut traiter séparément des autres. J'écris donc tout simplement N au lieu de Ni^^\ mais