Première Partie. Livre III

quelquefois, s il est nécessaire de distinguer les termes appartenant à divers groupes, j'emploierai la notation

ce qui me permettra de charger le symbole N d'un grand nombre d'indices nouveaux.

Les N étant des fonctions de w , (/>) , (p) , tj^ et yj'^, je les représenterai, conformément à nos développements fondamentaux, au mo3'^en de l'expression suivante:

ir) N = 5:Z{N(o , s , s%,-xN(o , s , s'),„7' + ■ . .

+ • • Mipr

+ 2ZSZ{N(« , 8 , s')o,, — N(« , s , S'),,«57' + . . .

+ N(n,8,s'),,,îy"--..

Voilà la forme fondamentale du développement de la fonction perturbatrice. Il est certain que l'expression {fj est convergente, tant que les fonctions diastématiques restent moindres que l'unité. C'est de même quant au développement {ji) : Les inégalités diastématiques pourraient être beaucoup plus fortes qu'elles ne le sont à l'état actuel des choses, sans que le développement (yî) cesse d'être très convergent. Mais la formule (a) peut être divergente même si la valeur de h reste toujours notablement inférieure à l'unité; s'il s'agit des planètes principales, il n'y a pas, cependant, lieu de craindre qu'un tel cas n'arrive.

De la forme fondamentale, on pourra déduire, moyennant des transformations convenables, plusieurs autres formes du développement de la fonction perturbatrice: je me restreins à n'en indiquer que les trois suivantes:

A) En introduisant, dans l'équation {f), l'expression du produit {PÏip'Y ^^"^^"^^ donnée par l'équation (3) du n*' 55, on aura, après un calcul assez simple, bien qu'il puisse paraître laborieux, la fonction N dévelopJ)ée suivant les multiples de F , F' et F — F + co — û>' + ;r — T — (;:' — r').

428 Traité des Orbites des PJanètes.

Mais cette forme n'étant pas appropriée à l'intégration directe des équations différentielles que nous allons déduire prochainement, je ne la considère plus. B) Les arguments E et E' ainsi que G et Gr', définis au n® 26, étant homorythmiques avec F et F' respectivement, on pourra exprimer le développement de la fonction N moyennant les arguments E , E' et

E — E' + û> — û>' + 7r— /'— {tt' — r),

ou encore par G , G' et G — G' + û> — a>' + ;r — /^ — (-' — F'), C'est surtout la dernière forme qui mérite d'être mentionnée, vu qu'elle porte à exécuter un certain nombre . des intégrations demandées d'une manière assez simple. Il faut toutefois rappeler que les angles G et G' ne sont pas homorythmiques, ni même isocinétiques avec les angles nt -\- A — 7' et n't + A' — jT' respectivement, parce que les différences nt — G et n't — G' renferment, chacune, un terme séculaire. On aura, en effet, si Ton introduit dans l'équation (10) du n"^ 26, la valeur

l'expression

G = {i—ç)nt — {i —<:)nT+ A — tt+U — c)X,

d'où l'on voit, immédiatement, que le terme séculaire dont nous avons parlé est çnt. Il est donc impossible d'employer, comme arguments, les angles nt + . l — y et n't + /f — /" sans être obligé de développer suivant les puissances du temps, ce qu'il faut, cependant, éviter dans une solution absolue de notre problème.

Mais les angles G et G' étant isocinétiques avec (i — ç)nt '\- A — F et (1 — ç')n't + A' — F' respectivement, on peut employer ceux-là comme arguments au lieu des premiers. Cependant, les agrégats périodiques (i — ç)nl' et (i — ç')n'T' renfermant des termes dont les vitesses de l'argument sont extrêmement faibles, en sorte que la nature isocinétique des arguments dont il s'agit paraît altérée pendant de longs intervalles du temps, on pourra douter que l'introduction de ces derniers arguments soit favorable. Elle est, au contraire, interdite dans certaines occasions.^

* Dans mon mémoire lUntersuchungen ûber die Convergenz etc.», j'ai évité le développement suivant les puissances de la quantité T (ou Z), ce qui m'a permi de mettre en évidence qu'une inégalité dépendant d'un très petit diviseur ne peut pas excéder une limite déterminée, bien que ce diviseur soit évanouissant.

Première Pailie. Livre III. 429

Pour arriver au développement qui procède suivant les multiples de

sm I Gr et de G', il ne faut que mettre en usage les expressions de [pY p*F