Première Partie. Livre III

et puisqu'on a:

on doit chercher les différentes valeurs du coefficient E dans les formules

et (i3,'»3,4). On obtiendra ainsi les coefficients — 6i'~^sr'^^'"^ , -ci''^%

96. S'il s'agit des termes d'un degré plus élevé que celui de la synechie à laquelle appartiennent ces termes, il faut que les nombres p et p' satisfassent à la condition

d étant le degré de la synechie; tandis que r et r' représentent des entiers positifs pris à volonté.

On en conclut que le degré d'un terme appartenant à une synechie donnée ne peut différer du degré de la synechie que d'un nombre pair.

Mettons en évidence les quatre combinaisons auxquelles sont soumises les deux dernières des équations (2). Nous aurons:

En ajoutant les équations de chaque groupe, Tune et l'autre, il résultera:

Cela étant, on peut prendre 5' , 5 , p et p' à volonté, à la seule condition que la somme p + p' soit paire ou impaire selon que la diff'érence est paire ou impaire; et encore qu'elle soit plus grande ou tout au moins

436 Traité des Orbites des Planètes.

égale à la valeur absolue de cette différence. Mais pour rétablir l'égalité, il faut attribuer à r et r' certaines valeurs positives, assujetties aux conditions

Alors, les différences p — 2r et p' — 2r' seront toujours positives ou nulles, et Ton doit considérer celle ou celles des équations (4) qui seront satisfaites, les valeurs de 5 , 5' , p et p' étant données.

Supposons, pour étudier un exemple spécial,

Evidemment, les conditions nécessaires seront satisfaites, soit par la seconde, soit par la quatrième des équations (4). On aura en effet: i) si Ton choisît la seconde de ces équations:

d'où il est visible quil faut adopter les valeurs

2) si Ton prend la quatrième des équations dont il s*agit:

équation qui sera satisfaite de deux manières différentes: d'abord en faisant r = I ; r' = o, et ensuite par les valeurs r = o , r' = 1 . Mais on s'aperçoit sur-le-chamj) de Fidentité de cette dernière hypothèse avec le résultat trouvé dans le premier cas.

Examinons un peu en détail, les deux cas que nous venons de distinguer.

D'abord, les équations II nous donnent les relations

d'où il résulte:

Mais puisqu'on a

on doit chercher, parmi les termes des formules ( 1 4 , o, o, 5), ( 1 4, i, o, 5),