Première Partie. Livre III

Evidemment, dans notre exemple, il fant prendre

autrement, le facteur dépendant des fonctions oy et 3y' devrait être

Les formules servant au calcul des coefficients G sont, comme on voit, soit par Texpression (5), soit par Texemple que nous venons de traiter, de la même fonne, quelles que soient les valeurs de p et ]^\

Qu'on remarque encore que les cinq indices p , p' , r , r et n déterminent complètement, avec le nombre c l'argument du terme. Ainsi, par exemple, l'expression complète du terme dont le coefficient est

sera:

On sait que la valeur du nombre c peut être 1,2,3 ou 4; cependant, si l'indice p est nul ou égal à 2r, les combinaisons (i) et (2) se réduisent. Tune à l'autre, et c'est de même quant aux combinaisons (3) et (4). Egalement, si l'indice p' est nul ou égal à 2r', les combinaisons (i) et (3) ne diffèrent pas, Tune de l'autre, ni les combinaisons (2) et (4) non plus. Si p et p' sont simultanément égaux à zéro ou à 2r, respectivement à 2r', toutes les quatre combinaisons reviennent à une seule, et ce ne serait plus nécessaire de les distinguer par la notation (c): je vais cependant, dans ces cas spéciaux employer la notation (o). Mais on pourra éviter cette notation encore si Ton emploie les indices p , p', 5 , ^' et n. En effet, la relation

sera légitime si Ton a déterminé la valeur de c en considérant les signes de n — s et s' — n, et qu'on ait choisi les nombres r et r' de façon que les relations

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soient satisfaites, 2r étant toujours moindre ou tout au plus égal à p, et 2r', moindre ou tout au plus égal à p'.

Supposons, pour élucider le rapport entre les deux manières de dénoter les coefficients G,

D'abord, puisqu'on a

le cas considéré appartient évidemment à la troisième combinaison; et il est encore clair qu'on doit prendre

Selon les circonstances, on pourra donc se servir de l'une ou de l'autre des notations signalées: la première, où l'on met, directement, la combinaison en évidence, est préférable lorsqu'il s'agit de termes appartenant à une valeur indéterminée de l'indice n, et laC seconde, s'il s'agit d'une synechie déterminée.

Quand p est ^gal à zéro, on aura nécessairement aussi r égal à zéro et s égal à n. C'est de même quant aux indices p', r', 5' et w.

98. Voici maintenant la liste complète des coefficients appartenant aux termes jusqu'au troisième degré inclusivement. J'y adopte la première manière à mettre en évidence les indices, et j'omets les indices i; et u' qui sont communs à tous les termes.

G(i,o,o,o,n)-— sV'-' N (n , o , o) + ^ N (w , I , o),

G(o, I ,0,0, n) = fr'N(w,o,o) +-N(w,o, i),