Première Partie. Livre III

(1) aC(i ,o,o,o,n) = — [n + 3 — 2n^]rY — 2/-?'",

aC(i ,o,o,o,w) = [n + 3 + 2nip'\rY — 2/-?'",

aC(o,i,o,o,w) = \—n + 2];^'"+ 2/-?'%

aC(o,i ,o,o,w) = \in + 2]/-J'" + 2x\\

Lorsque n est égal à zéro, la transcendante jY doit être changée en ;-J'" — ot^, et les formules indiquées divisées par 2.

102. Les différentes synechies étant des agrégats périodiques, on peut les représenter moyennant des produits de deux facteurs dont lun reste toujours, sauf dans les cas exceptionnels, positif et plus grand que zéro, et lautre est une fonction trigonométrique ayant pour argument initial un nouvel agrégat périodique.

Pour y parvenir, supposons qu on ait exprimé les huit fonctions ri cos (;r — T\ rj sin (t — F), ri cos {tï! — T'), ri sin {j: — T'), /cos [Q — 0), Jsin (i2 — 0), T cos(i2' — 0') et /' sin (i2' — 0'), dont les quatre dernières apparaissent dans les expressions des fonctions 0^^ , 0j , 0^ et (P, que nous avons introduites dans le n° 93, moyennant les formules (19) du n*' 9 et (48) du n"" 23.

Rappelons-nous ensuite que langle V est donné par la formule

V = j^ (î; — û>) + I^ = j^(v — ©) + L, et l'angle û> par celle-ci:

û> = C(t^ — /l) + T\ nous aurons, par conséquent, en admettant la notation

d'où

Traiti des orbiUa absolues. 53

la relation

s{v — ffi) — S'Y — -— -- {v — (o)

Après avoir ainsi déterminé la partie principale de l'argument, on parviendra à représenter la synechie des indices s et s' par un résultat de la forme

M cr "^ "' 1

les a, , a^ , . . . ainsi que les tr^ , a^ , . . . étant de petites quantités constantes de Tordre des forces perturbatrices, dont les premières sont encore multipliées par certaines puissances des coefficients diastématiques et anastématiques, et les 6, , é, , . . . , des angles constants dépendant de A , A' y Fy P, 0 et 0'.

Mais lexpression (12) se réduit en un seul terme, en appliquant la méthode de transformation indiquée dans le n° 6. Soient en effet:

scos(? = C| <;■, — a <t, — a b^ — h h^ — h

ssin^ = SI ^, —

nous arrivons facilement aux résultats

Tv = e cos(U + o)v + b + â),

(14) OU bien

Év = esin {(X + <t)v + b ■{- Ô);

et nous supposons que les dérivées ^^^ ^ et J"^ ^ soient de petites

quantités du deuxième ordre par rapport aux forces troublantes, vu qu'autrement la transformation serait sans succès. Evidemment, les constantes tr et b , dont nous supposons la première du même ordre que les ^, , ^3 , . . . pourront être choisies de manière que d devienne exempt, soit du terme constant, soit du terme séculaire.

Par ces suppositions, on comprend aisément que le premier terme du second membre de la formule

(15) fs cos((A + (t)v + b + d)dv = ^-^sin((A + a)v -{- b + 6)

— Y^f^in{(X + a)v + b)

dis cos(/) ,

—^-7 -du

, , , ,.d(eBmff) ,

+ (t)v + b)^-j -dv

remporte beaucoup sur la somme des deux derniers, tant que A est une quantité de Tordre zéro; c'est-à-dire notablement plus grande que ^, en sorte que ce terme donne une valeur approchée de Fintégrale proposée. Les deux derniers termes sont en effet, on Tentend facilement, des quantités du deuxième ordre. Mais si au contraire, A était aussi une petite quantité, comparable à ^^ , ^^ , . . . , le premier terme du second membre ne donnerait plus la valeur approchée de l'intégrale. Pour parvenir à une vraie approximation 'dans un tel cas, il faut d'autres méthodes d'intégration; et avant tout, il ne faut pas alors oublier que l'argument renferme le terme — s'U. Ce que nous venons de dire s'applique aussi à la formule

(15') fssiu ((A + (T)v + b + 0)dv = — ^-^cos((A + (t)v + b + d)

■rb/^»«^

+ tT)v + b) '^^ ^dv.

Le premier terme du second membre donne encore la valeur approchée de

460 Traité des Orbites des Planètes.

l'intégrale formant le premier membre, toutes les fois que X est notablement plus grand que les <7j , «r, , . . . . On aura également:

(16, a) /^^^'/s <^os((A + a)v + b + â)dv

= — (rrT*«os(U +<T)v + b + d)

L fdvf cos{(k + ^)v + b)^^^dv,

ainsi qu'une formule analogue exprimant la double intégrale sur la fonction e sin ((A + <r)v + i + 0), savoir

(16, b) f(^^f^ sin ((A + «t)î; + ft + f>)

= — (TT^sin ((A + a)v + bi-â)

dlecosff) ,

-^-1 dv

+ (Iir^/sin ((A + <r)y + & + <?)

+ j^ Trfî; TcosdA + 0)v-\-b + <?)lif^L^rft; - ^, fdvfs\n{(X + c)v + bi. 0/-^dv.