Première Partie. Livre III

Par les substitutions dont nous venons de parler, nous parviendrons finalement au résultat cherché. En y réunissant les termes dépendant des mêmes arguments, ce résultat prendra la forme

(31) ^.(i — î7^jZv(F^)h)+"èv(F^>h)|

= ^F(i,i,oV(r + r') — iF(i,i,o)^iZ'cos(^-ii' + û-0-(i2'-0'))

— ^F(i,i,o):77'co8(F— 2V + 2^+ 2(i2 — 0))

+ - F(i , 1 ,0)7)11 co8(F — 2v + S + *' + i2 — 0 + i2' — 0')

— (* + h)iiP + ^*) cos(F' + V — V')

■+ hj'V co8(F' — (V -I- v') + 2^ + 2(Q — 0)) + hyjT^ cos(F' — (V + V') + 2»' + 2{Q' — 0'))

— 2brj'll' cos(F' (V + V') + ^ + *' + i2 — 0 + i2' — 0') + 2h7j'ir C08 (F' + (v — V') — (^ — W) — (i2 — 0) + i2' — 0') + 26,3y'//' cos (F' + (V — v') + ^ — d' + i2 — 0 — (fi' — 0')),

où l'on a employé, pour abréger, les notations

J = iF(o,o,o)-iP'(o,o,i),

i, =iF(2,0,0)-^F(2,0,l).

L'expression analogue relativement à la fonction Q^*^ est un peu plus simple: la raison en est que les termes dépendant de l'indice w = o n'y existent pas. Nous aurons en efEet, par un calcul semblable avec celui que nous venons d'exposer, la formule

Traité dêê orbiteê absolues. 61

482 Traité des Orbites des Planètes.

(32) j^jzKQ^'^h) + i:l(Q^»^h)] =

— ^Q^(i,i,o)/)//'sin(S — ry + ii — & — (ii' — &)) + iQ'iiyi p)r]P sin{F— 2Y + 2»+ 2(i2 — 0))

+ ^Q'(i,i,o)îy7''sin(P— 2V+ 2^ + 2(i2' — 0'))

— -Q^(i,i,o)îy77'sin(F— 2v + ^ + îi' + i2 — 0 + i2' — 0')

- Qq^(2,o,o)- iQ^(2,o,i))^'(r + 7'^) sin(F + v - v')

+ (q^(2,o,o) — ^Q^(2,o,i))îy'77*sin(F+v-v'+7y-*'+i2-0-(û'-0^^

Cherchons encore les synechîes des indices 1,0 et — 1,0, détachées

du produit H'^^ — j ou plutôt la somme de ces synechies. Les termes y

contenus; étant de la même nature que ceux que nous venons de considérer précédemment, doivent être réunis, ce qu'on voit facilement par la deuxième des équations (11) du n° 85, avec ceux-là.

Dans le but proposé, considérons l'équation

+ 2?^jR''(i,o,o) + R'(i,i.o> + R'(i,o,iy}cos(v- V')

+ 2?^{R<'(2,0,0) + R\2,l,0)p + E"(2,0,iyicOS2(v-v'),

et introduisons-y la valeur de — donnée par Féquation (31) du n° 67, c'est-à-dire la valeur

:i=-;('i+a'ii)-('-'')+i((i)'+»-)-(-'')+>'^'

Après avoir remplacé les produits dépendant de 3 et j', ainsi que de leurs dérivées, nous aurons de la sorte, par les expressions que nous venons de déduire, la formule que voici: