Première Partie. Livre IV

Si l'on y introduit les valeurs

\dt) + U) ~ Ut) +(i +^)V'

et encore celle ci:

^^^ d^ dt '^ drj dt "" \dv ■'" dr dv) dt '

on obtiendra, après avoir ajouté au résultat obtenu Téquation identique

l'égalité que voici:

'^ ^^ 2 J< tW 2 d/ "^ d^

"~ \dô "^ ~dr dv) dt "^^ ~dr '

Nous apprendrons, dans la suite de nos recherches, que la fonction c s'exprime moyennant un agrégat périodique, ne renfermant que des termes en cosinus, ce qui est, du reste, facile à prévoir. Il s'ensuit que le petit terme que nous venons dajouter aux deux membres de Téquation (IV,) pour que son premier membre fût une différentielle exacte, est aussi un agrégat périodique, vu que la fonction N' ne renferme, outre un terme constant, que des termes en cosinus.

Mais nous allons mettre le second membre de l'équation (IVJ sous une forme nouvelle qui présentera un intérêt particulier.

En considérant les valeurs de -j- et de -vr données par les équations

dû dû .

(24) du n** 20, ainsi que celles de — et de — tirées des équatipns (3) du

n" 65, on exprimera facilement les produits rT:y: ^^ ^ 37 P^^ l^s dérivées

dç (Xt dtj ctt

512 Traité des Orbites des Plauètes.

partielles de la fonction perturbatrice par rapport aux coordonnées ir , y , ^. En ajoutant à la somme des produits mentionnés Téquation identique

/ ai? , dSJ , diJ\ / dx , dy . dz\

qui découle de Téquation (3) du n° 16, on trouvera tout de suite, en regardant la seconde des équations (11) du n° 66, la relation remarquable

a^ç/ç a^^__ay<i^ ay^/ ai2c?2 ai?

(^^) d^dt^d7)dt~dxdt'^d7f~(Û'^dz'dt~ dv '

Mais par Téquation (4), il est visible que le dernier terme du second

membre est égal à — -^'dT ' ^'^^* ^ ^^^® ^^ terme que nous avons ajouté, avec signe contraire, au premier membre de Téquation (IVJ, pour rendre ce membre intégrable.

On arrive à ce résultat aussi de la manière suivante.

En considérant les relations

dv dW '

dû dr dv ai? dr dw

dr dv dt dr dw dt

et ensuite celle-ci ;

on aura sur-le-champ:

dv dw 1^ dt^dt~'

/ X /dû d(2dr\ dv /dû dûdr^\dw 1^^/^

^ ^ \dv •" dr dv) dt ~ \â?^; ' dr dw) dt dt

Cette valeur, introduite dans l'équation (IVJ, fera détruire, immédiatement, le dernier terme du second membre.

Il convient d ajouter, à cette place, une formule* analogue à Téquation (11), savoir la formule quon obtient en remplaçant, dans le- premier membre de Téquation précédente, v par la variable indépendante v. En rappelant

la relation