Première Partie. Livre IV

on aura, comme dans le cas précédent,

, X /dû dQih\dy /dû dû^^

^^^^ \dv "^ drdv/di ^ \dv '^ d7 dv ) di ^ df dt

Pour vérifier une partie essentielle de nos formules, données dans le deuxième et le troisième livres, je vais déduire autrement Féquation (lo). On a d'abord:

dÛ^dx dÛdj^ dûdz dÛdr dÛdl dûdb dx dt ' a// dt ^ dzdi~^ JrAt ' dïdi ' dhlt '

Mais en vertu des équations (5), (8) et (8') du n° 65, on tire facilement les expressions

dû .dû . . / /r M^^

-r = cos ? r sint cos (v — (j — 0)—r,

dl du ^ ^d^

ai> __ r a^ rsinh dÛ

dh 008 h dZ COS b dr ^

bien entendu, après avoir fait, dans les équations citées, C égal à zéro. En considérant Téquation (17) du n° 66, nous aurons ensuite:

dû __ I i dl dû r cos i dû • dh i + g conb du du cosb d^

Puis, les équations (19) du n° 19 nous donnent:

-=={l+,g)smzcos{l-e)^,

f , -V sin i cos (v — 0 — Q) dv

et nous avons encore:

-f- = {^ + //) sin i cos {v — G — e).

TraiU des orbites absolues. 65

514 Traité des Orbites des Planètes.

En considérant finalement la relation

cosô^ — eosi^ + sin i^ cos {v — G — e)\

les valeurs indiquées nous conduisent à ,1a relation

, , diJdl . dHdb f , -.^iidv

dû dt ^ db dt "^ ' '^^ dv dt

OU bien:

('4) dxdt^dydt'^dzdt '~d^Jt "•" ^^ '^ ^^didt"

Avec cette égalité, on parvient facilement à retrouver Téquation (lo). Mais de Téquation (14), on tire sur-le-champ la conclusion importante que le produit

■xjdy/c -dû dv

^df^^d^dt

est une fonction de termes périodiques en sinus sans terme constant. En effet, tout terme constant doit avoir disparu par la différentiation du premier membre de Féquation (14); c*est de même quant aux termes

-A 7- du second membre. Il s'ensuit que le terme restant du second

do dt dvdt ^

membre ne peut pas être affecté d'un terme constant. •

11 convient, pour certains usages, d'exprimer l'équation (IV,) sous forme d'une intégrale, bien qu'une telle représentation rfe puisse être que formelle. Le premier membre de l'équation mentionnée étant une différentielle exacte, il n'y a pas là de difficulté, mais quant au «econd membre, il faut se contenter de la notation. On aura de la sorte:

(IV.) (s)'+(r4v-^;-''''-' + ^^

h étant une constante qu'il faut déterminer en considérant la valeur de la constante arbitraire qui est ajoutée aux termes de la fonction c.