Première Partie. Livre I
La condition que les axes des f et des rj soient situés dans le plan considéré s exprime par Téquation
ou bien, ce qui revient au même, par la suivante:
ce qui, si r > Ti ? Ta ^^^^ ^^^ constantes, est Téquation d*un plan passant par Torigine et exprimée en coordonnées rapportées aux axes fixes dans l'espace. Que ce plan passe encore par un point de la courbe infiniment voisin au point x , y , Zj cela s'exprime par Téquation
dx , dif , dy
les dérivées étant tirées des expressions des coordonnées considérées comme fonctions du temps.
Par ces déterminations, on a fait tourner le plan instantané autour du rayon vecteur de la courbe; mais il en découle encore quelques conséquences que nous allons mettre en évidence.
En différentiant les équations (i), on obtient:
Tt-"" Jt-^P dî-^^ dt^di. ^'^di'i-^di'''
djl di
dz
di
-''^dt^p^Tt+r.ji+j^^-^jfrj+jr'^^
— « '^^ A. fi '^^ -4- V '^^ J- ''*'« A j. *^^« « a. ^^*t
dt ' i^'^dt ' '^dt ' dt "' ' dt '' ' dt et si l'on introduit ces expressions dans l'équation (3), après avoir mis:
il en résultera Téquation
° = (4+«.| + «.|'> + (''^l + Ai^ + A^')"
Traité des Orbites des Planètes.
Ensuite, si Ton différentie réquation (2), et que l'on retranche du résultat Téquation (3), on obtiendra:
En y introduisant les expressions (i), on trouvera immédiatement Téq nation précédente.
17. On satisfait aux conditions (a), (b), (a') et (b') en adoptaot les expressions suivantes des neuf coefficients:
a = cos e cos <T + sin 0 sin <t cos / , ^ = cos e sin <T — sin 0 cos (t cos i , ^^ = sin 0 sini,
a, = sin 0 cos a — cos 9 sin a cos i , y9, — sïn 0 sin <T + cos 0 cos <t cos /, ;*, = — cos 9 sin i ,
a^ = — sm ^ sm e , ^^ == cos (Tsini, X^ = cosi,
et Ton sait que 9 et ^r signifient alors les angles entre la ligne d'intersection des deux plans et les axes des x et des f , et i, Tinclinaison mutuelle de ces plans. Les arcs 9 et <t s'appellent d'ailleurs longitudes du noeud du plan mobile sur le plan invariable, l'un compté sur le plan fixe, l'autre, sur le plan mobile.
En différentiant les expressions (d), (d') et (d"), toutes les quantités y entrant étant variables, on parvient à des formules qu'il convient de rappeler à cette occasion. Les voici:
