Première Partie. Livre IV
retranchant Téquation (X) de Téquation (26), une nouvelle équation du second ordre, où la différence T — T et la fonction y^ entrent comme inconnues. L'une de ces quantités peut être prise à volonté, Vautre se trouve ensuite, en intégrant Féquation restante. On y pourra égaler à zéro, soit la fonction ;f, soit la différence T— T\ mais on pourra aussi les choisir d'autres manières, ayant toujours en vue de pousser, autant que possible, la convergence des développements.
En ne considérant que les termes à longue période, il est visible que
la dérivée j- doit être considérée comme une quantité notablement plus
petite que la fonction T elle-même. En particulier, lorsqu'il s'agit des termes élémentaires du type (-4) entrant dans l'expression de T, ces termes
deviendront sousélémentaires du premier ordre dans l'expression de j- . Il
s'ensuit que la fonction S déterminée par le développement (28) est, en général, une quantité peu considérable, d'où l'on conclut finalement, en
considérant l'équation (2 2), que le rapport -j reste peu différent de l'unité,
du moins s'il ne s'agit que de termes à longue période. Voilà la confirmation de la loi de Kepler telle que nous l'avons annoncée au n° 25.
116. Il nous faut encore introduire, dans les diverses équations (III), l'argument v^ au lieu de v . Ces équations n'étant toutefois pas réellement distinctes, il suffit d'opérer la substitution mentionnée dans l'équation qui se prête le mieux à nos intentions, savoir l'équation (Illg). En rappelant la relation entre t; et t;^, on déduira sans peine le résultat que voici:
(XI) ^i
^[i(^.f-7ls]l-+c+.^)'0+l:)*' ='f(-+l.)'(^-.-)c'--«)
= (i+5)'R(j'-scosF).
L'équation obtenue doit être divisée en deux autres, dont l'une donne, par l'intégration, les termes élémentaires du type (J5), et l'autre, les iné-
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galités anastématiques. Dans ce but, cherchons les synechies des indices I , o et — I , o appartenant au second membre de l'équation signalée. En vertu du développement
(a) R = Ri'> + 2Rf cos w + 2Rf cos 2 w + . . .
+ {Ri'> + 2Ri^) cos w + 2R<^> cos 2W + . . .}h + ...
on déduit immédiatement celui-ci:
(/9) R cosfl = Bf + (Rg» + R<*>) cos w + (Rf + Ri^>) cos 2w + . . . + {R</> + Rg» + ÇR'^' + R<^> + 2Rr) cos w
+ (Ri^> + Ri^> + 2R<«>) C0S2W + . . .}h + ....
Mais les coefficients des développements (a) et {f() sont des fonctions ^® (p) y {p') 9 V^ ^t ?'• -E^ introduisant les expressions de ces coefficients, lesquelles s'obtiennent facilement en considérant l'équation (25) du n® 87, en négligeant les termes surpassant le second degré, et finalement, en admettant les notations
2^*(2,S,s0.y = R'(l,S,s'Xy + R'(3 , S. S').y ,
etc.;
//Xo,S,s').y = 2R\l,S,S').y + R'(o,S,s'Xy, 2ff\l,S,sly =%[RXo,S,s0.y + B\2,S,s'Xy + R'(l , S, s')..] , 2g\2,S,S%' = 2[R>(l,S,s0.y + B\3,S,S%y + R^(2,S,S').,,],
etc.,
