Première Partie. Livre IV

Ayant obtenu les relations dernièrement mentionnées, nous allons les introduire dans lexpression (3'), ce qui nous amènera à l'expression

L' étant mis à la place de -7- •

Il convient de s arrêter im moment à la formule trouvée pour la rapprocher de l'expression de L\ qu'on emploie, à l'ordinaire, dans la théorie de la variation des constantes arbitraires. On sait que cette fonction y joue un rôle proéminent, et qu'elle y entre sous forme d'une dérivée partielle. En désignant, en effet, par e l'élément elliptique longitude moyenne à l'époque, on a établi l'expression

Les deux valeurs que nous venons d'assigner à 1/ devant être identiques, on demande si l'on peut toujours satisfaire à cette condition par la seconde. Il s'agit, en d'autres mots, d'examiner si cette valeur est toujours l'expression rigoureuse de la fonction L'.

Admettons, pour simplifier la question,

ce qui nous permettra d'écrire

(4) f + f ;;- = D. a + f- (-f« - (A) — L ai)) .

^^/ dv dr dv . y dp \dv ^ ^ firdv }

Mais quant au premier membre de cette équation, on voit facilement qu'il ne peut pas être identique avec la dérivée partielle mentionnée, a moins qu'on n'ait:

re sin (t; — n^di:^ + r cos(î; — it^de = d[a{i — e*)],

e étant l'excentricité elliptique, tt^j la longitude du périhélie, et a, le demi grand axe. ^

* Annales de TobBervatoire de Paris, I, p. 235.

540 Traité des Orbites des PlaDètes.

Cette condition peut être remplie de diverses manières; d'abord en supposant les éléments constants, mais encore, en substituant, pour leurs parties variables, lensemble des inégalités du premier ordre, ou bien, les inégalités jusqu a un ordre quelconque. Mais elle ne sera pas satisfaite, si Ton y met, au lieu des variations totales des éléments, une certaine portion de leurs inégalités, par exemple les inégalités séculaires. On voit en effet que, si Ton remplace les éléments e y tt^ et a par leurs expressions séculaires, le premier membre de l'équation signalée renfermera des termes dépendant de 2v, termes qui ne seront pas compensés par de. pareils termes du second membre. Il ne sera donc pas légitime de représenter de la sorte

les fonctions mentionnées et en même temps mettre Texpression — à la place

de L'. Il paraît découler par là que les formules données par Poisson dans son célèbre mémoire de 1816, se prêtent seulement aux développements qui procèdent conséquemment suivant les puissances des forces troublantes, développements où appardtra, inévitablement, le temps hors des signes trîgonométriques, et qui, en conséquence, ne pourront pas constituer des solutions absolues. En dautres mots, après avoir détaché de la fonction perturbatrice, la partie dite partie séculaire, les formules bien connues des variations des éléments ne s'appliquent plus, les expressions séculaires étant considérées comme une première approximation.

119. Revenons à notre équation (IV^) qui joue, en quelque sorte, le même rôle dans la théorie des orbites absolues que joue, dans la variation des éléments képleriens, Texpression du demi grand axe.

En portant, dans l'équation mentionnée les expressions (2) et (3"), il yiendi-a :

„ 'i-, + (. + ^)/u....v. + .f^ 0« - (A) - ;,ffl)„v.