Première Partie. Livre IV

En réintroduisant 4S au lieu de F, en remplaçant la constante d'intégration h par une autre a, liée à celle-là par Téquation

et en désignant finalement par M l'ensemble des termes indépendants de S, qui sont ou du second ordre ou débarrassés du signe f, on tire de l'équation précédente le résultat que voici:

(5) (-nb).-'= ^f,y, —j. + {2 + ~,)fD.,Udy,\+M.

Evidemment, s'il se trouvait dans M des termes du type {A)y ceux-là seraient tout au moins du premier ordre. En effet, les termes qui y sont encore affectés du signe C appartiennent au second ordre et deviennent, par Tintégration, du premier; les autres termes sont, par supposition, du premier ordre. Quant à Tint^grale fD^^Qdv^y son expression ne renferme pas de terme du type (-4), et les autres termes seront du premier ordre. 11 en peut résulter par la multiplication avec les diverses puissances de py

-^ y A et By des termes du type (-4), il est vrai, mais ces termes seront aVç

partout sousélémentaires. Il s ensuit que l'expression de S ne renfermera

aucun terme élémentaire, si toutefois a est une quantité du premier ordre.

En différentiant 1 équation (5), nous obtenons un résultat de la forme

(I + sy

Q étant un agrégat où les termes du type {A) sont nécessairement du second ordre, vu que tout terme de ce genre contenu dans cet agrégat est le résultat d*une différentiation par laquelle sera produit un facteur de Tordre des forces troublantes.

542 Traité des Orbites des Planètes.

La fonction Q se met facilement sous la forme

^' ' 2 dv.

|» + (2+#)jXflrfv.|

quon peut transformer ultérieurement moyennant Téquation (i). Il ny a pas, toutefois, des motifs dentrer, quant à présent, dans les détails sy rapportant.

Quant à la constante <t, il y aura à remarquer quelle nest pas arbitraire, mais bien surabondante. Elle doit en effet être déterminée de

ilT façon que l'expression de -7-, donnée par Téquation (25) du n° 115, soit

dépourvue de tout terme constant. Autrement, la fonction T renfermerait un terme proportionel à langle t;, et on n aurait pas fondé le calcul de largument diastématique sur la vraie valeur du mouvement moyen.

Le résultat que nous venons de signaler par Téquation (5), ne jouit pas d'un caractère absolu. La raison en est que la série trigonométrique par laquelle sera représentée la quadrature jD^^Qdv^y pourra finir par être ' divergente. Nous aurons plus tard, il est vrai, en partant de Téquation (X), un résultat plus rigoureux; néanmoins nous chercherons à montrer, d'une manière fort simple que la fonction Sy déterminée par Téquation (6), est réelle et finie.

120. Supposons, en négligeant la fonction T dans les arguments des divers termes, que le second membre de Téquation (6) ne renferme que des termes tout connus. Admettons ensuite le développement

Q = ri sin (AjV + ZJ + j-^ sin (A^v + i J + . . . ,