Première Partie. Livre IV
Ti ) K y -^i y T2 y • ' ' ^t^nt des quantités constantes, et v , pour abréger, mis
à la place de v^ . Nous supposons d'ailleurs que les coefficients j'iyTny'" convergent comme une progression géométrique.
Avec cette expression, on tire immédiatement de Téquation (6) le résultat suivant:
(I + sy
}j nrxc n ir 1 T. \ ?J
= -K — ^'cos {k,Y + L^) — (J cos {X,v + L,) -
On peut toujours supposer la série du second membre convergente, bien que la convergence ne soit pas uniforme. En effet, si l'on pose:
on aura:
P^ =1 +2K^+ ^^[cos(A,v + L,) - cosi,] + . . . ,
où les termes de droite forment, évidemment, une série convergente. Il en découle:
En développant le second membre, on obtient le résultat (8) 1+5 = , ' ?J î[co8av + L.) — cosL,] — . . .
+ ^-^ i[cos(A,v + i:.)-co8L,]'+ . . .
Or, le terme constant du développement de la fonction 5 devant être égal à une* quantité donnée, que nous désignerons par a, il faut qu'on
établisse, en ne considérant que les termes du deuxième ordre en 7,7, ...
544 • Trait(» des Orbites des Planètes.
et en restituant K au lieu de K^, ce qui revient à omettre les termes yCOsLj, etc., Féquation de condition que voici:
I 'iF
v/i + 2A' 2(1 + 2AT-
où Ton a désigné par 2F ^ le développement
Evidemment, si F, était, avec <t, une petite quantité, la résolution de Téquation que nous venons d'obtenir seffeotuerait très facilement, parce que cette supposition entraîne celle que K soit aussi peu sensible. Or, si Ton ne considère que les premières puissances de K et de Fj, il résultera réquation
doù Ton tire:
Maintenant, si Ton désigne par Xj , x^ , . . . les coefficients des termes périodiques du premier ordre du développement (8), nous aurons, en ne considérant toujours que les termes du deuxième ordre en y , j , ..., Texpression
Ti
ou bien
Xi =
{'-i'y--My-<i)'-
Certes, le procédé qui nous a conduit au résultat signalé n'étant légitime qu'à certaines conditions, on doit accepter ce résultat sous toute réserve. Néanmoins, tout incomplète que puisse être la formule du co^icient Xi y elle révèle un fait que nous allons retrouver plus fard avec plus de rigueur, savoir que de petites valeurs des coefficients Aj ne tendent pas à agrandir les coefficients Xi hors des limites finies et inférieures à Tunité.
