Première Partie. Livre IV

121. La méthode d'étudier le développement de la fonction S que nous venons d'exposer dans le numéro précédent, conduit, si imparfaite quelle puisse être, aux règles du calcul qui s'appliquent avantageusement aux cas des planètes principales. Néanmoins, la discussion de certains de ses détails étant assez difficile, pour ne pas dire impossible, il convient de la remplacer par une autre qui sous le rapport théorique paraît supérieure. Je me restreins cependant à en indiquer le point de départ.

Dans ce but, différentions l'équation (6), après y avoir écrit v au lieu de v^; ce qui nous donne immédiatement:

d'S /dsy

^^^ {i + sy ^(1 + ^)* dw'

Mais l'équation (6) nous fournit en outre la relation

(I + S)* en vertu de laquelle l'équation (a) prend la forme

Ensuite, si l'on observe que Téquation (6) s'écrit ainsi: ^

on sera à même de mettre l'équation précédente sous la forme suivante: dv' 3Q(i+S')d5 .^,ç, dQ ■

On en déduit finalement l'équation que voici:

(9) ^-3<3(i + 5')^^-[6(?»(. + 5)' + f (3 + iS+ S')]5-

Traité de» orbites abaoiues. ^9

Traité des Orbites des Planètes.

Tel est le résultat cherché. On pourra avantageusemeot y attacher le point de départ des approximations successives, et, par certaines considérations ultérieures, s'assurer de la convergence des développements qu'on va obtenir. Je n'insiste cependant pas, quant à présent, sur l'étude de l'équation obtenue, vu que nous allons en envisager, dans le chapitre suivant, une autre de la même nature, à peu près, mais dont l'usage paraît un peu plus simple. Je me réserve toutefois de revenir, dans la continuation du travail présent, sur l'équation (9).

122. En formant la quadrature de l'expression (28) du n^ 103, auparavant multipliée par rfv, il importe de mettre le résultat sous la forme fondamentale généralisée, vu que cette forme doit être employée lorsqu'il s'agit de former les équations simultanées dont nous avons parlé ^ la fin du n'' 17. Pour y parvenir, nous établissons d'abord les formules que voici:

j [^' sin (v — V') — £, cos (v — v')]rfv = — />'cos(v — v') — ^sin(v — v')+ ?^,,

(xO

rfv

^tl^'-fê)').^-^""'!]-''-')