Première Partie. Livre IV

Lorsqu'un diviseur est tellement petit qu'il donne occasion à des développements peu convergents ou même divergents, je le nomme terme critique. On peut donc dire que la méthode de Tintégration linéaire ne se prête plus aux termes critiques.

Dans la note ))Bemerkungen uber die Convergenz der nach den Potenzen der storenden Krafte geordneten Annaherungen im Stôrungsprobleme», ^ on a montré, par des exemples numériques, combien peut s écarter, de la valeur exacte, la valeur d'une inégalité obtenue par Tintégi'ation li-

sA néaire. On y a, en particulier, fait voir que, si la fraction ^^, s approche

de la valeur — ^ , la convergence cesse du développement qu'on a entamé

en admettant, pour approximation initiale, le résultat de l'intégration linéaire. Dans l'expression de la fraction signalée, A signifie le coefficient du terme considéré, tel qu'il entre dans le second membre de l'équation (X); 5, un nombre entier, et A finalement, le diviseur linéaire.

Mais d'autre part, on a aussi mis hors de doute que les vrais résultats relativement aux inégalités considérées dans la note citée, ne deviennent point infinis, même si la valeur du diviseur linéaire s'évanouit. Ce fait-là, étant d'une grande importance quant à l'étude des inégalités périodiques, on en a examiné soigneusement les détails dans le mémoire DUntersuchungen iiber die Convergenz etc.».^

Cependant, les méthodes mises en usage dans le travail mentionné n'étaient pas propres à faire reconnaître la vraie nature des termes élémentaires dans les cas où ils deviennent critiques. A cet égard, il fallait des recherches ultérieures, ce qui m'a obligé de publier le mémoire »Nouvelles recherches etcD."^

Dans le mémoire nommé, je me suis servi de certaines équations différentielles du second ordre, dont le degré était d'abord égal à 3: J'en ai ensuite déduit de nouvelles équations ayant la forme d'équations linéaires et appartenant, quant à la forme, à la catégorie des équations qu'on peut appeler, avec M. Poincare et d'autres savants, équations aux variations.

^ Astron. Nachr. Bd. I2i.

■^ Acta math. Tome 9.

* Acta math. Tomes 15 et 17.

TraiU des orbiiea absolues. 7^

554 Traité des Orbites des Planètes.

Mais jai en soin de déterminer les coefficients entrant dans ces nouvelles équations d'une manière telle que leurs expressions renfermassent certaines quantités constantes du second ordre relativement à la fonction cherchée. De la sorte, j ai obtenu des équations de forme linéaire mais conduisant à des équations algébriques tout au moins du troisième degré, d'où sobtenaient les coefficients du résultat représenté toujours par une série trigonométrique. Les équations différentielles jouissant de cette propriété ont été appelées équations différentielles horistiques.

On en pourra distinguer deux genres.

Considérons l'équation linéaire du second ordre:

I"^ étant une fonction de certains coefficients constants encore indéterminés,

et renfermant comme terme additif un agrégat périodique tout connu. La

fonction Y^ peut d'ailleurs renfermer une partie constante toute connue.

L'équation proposée a pour l'intégrale générale l'expression suivante:

qui peut être remplacée par une autre plus convenable, si v n'est pas une quantité très petite.

Dans l'expression signalée, les V^' signifient des agrégats périodiques qu'on peut considérer comme tout connus, et y, un coefficient constant qu'on appelle, avec M. Poincaré, exposant caractéristique. Quant aux équations horistiques, l'exposant caractéristique est fonction des constantes indéterminées entrant dans l'expression de Y^ . L'exposant caractéristique ne s'obtient donc pas, moyennant un calcul direct, des quantités toutes connues et données dans l'expression de la fonction Fj, mais il entre comme inconnu dans une équation algébrique ou. transcendante, d'où Ton tire une valeur réelle de son carré. Cette valeur pouvant être positive ou négative, on distinguera par là les deux genres des équations horistiques:

1°. Equations horistiques à exposant caractéristique réel;

2°. Equations horistiques à exposant caractéristique imaginaire.

' Nouvelles recherclies etc., § 7, n° 5.