Première Partie. Livre IV

Il n'est pas nécessaire de distinguer séparément le cas intermédiaire où lexposant caractéristique disparaît, parce qualors 1 équation linéaire perd sa propriété d'être horistique.

Reprenons lequation (i6) du n^ 8, et admettons-y:

Supposons ensuite que la série

To + n + • • •

soit convergente pour toutes les valeurs de s entre c ^- o et une limite supérieure s = e^. En supposant s^ moindre que Tunité, on peut encore admettre que les coefficients p^ aillent en croissant, de sorte quon ait:

On en conclut que la série est encore convergente, pourvu qu'on ait:

condition qui est remplie dans les théories des planètes principales. En effet, le module s étant une quantité du second ordre par rapport aux coefficients diastématiques et aux coefficients anastématiques, on aura toujours, dans les théories de ces planètes, une valeur de s^ suft'isamment petite pour garantir la convergence des termes critiques apparaissant dans le second membre de Téquation (i6) du n® 8.

La dernière remarque a été faite, évidemment, pour préciser ce que je viens de dire vers la tin du n° 8.

125. Admettons quon ait introduit, dans Téquation (VIIT), la variable indépendante v (ou v^) au lieu de v^] écrivons-y, pour abréger, p et p au lieu de (p) et (/>'), et supposons finalement que les fonctions (4^) et (P) soient mises sous la forme fondamentale généralisée: Téquation mentionnée se met alors sous la forme suivante, où les termes du cinquième degré et des degrés supérieurs sont supprimés.

556 Traité des Orbites des Planètes.

Dans cette équation, ni les P , ni les W ne sont connus dès le début; mais on sait que ceux-là sont des quantités du premier ou deuxième ordre

dépendant des expressions p'^ — i'i) > ^Pj:- > /'' ^^ / • > ^^ V^ ^^ V> '^^^^^

que de l'angle v — v'. En consultant les formules (27) et (28) du n° 103, ainsi que les formules (10), (11) et (12) du n" 122, on parviendra facilement à représenter les fonctions dont il s'agit moyennant des expressions de la forme que voici:

+y5i!i'|2/>:| cos 2(v-v')- (//'-(^)') siu 2(v-v')l .

+ /5^o!i'| (/>"-(£-)') cos2(v-v') + 2^'^;sin2(v-v')

(3, c) I\, = ^,f[p' cos(v - V') + ^sin(v - v')].

(3, d) P,,i = ^,\P[- p' sin (v - v') + ^' cos (v - V')],

(3, e) A.« = ^^f[p' cos (v - V') + '^. sin (v - v') |,

(4) W = (//•" + A'-'W')[p' cos (v - V') + ^; sin (v - V')].

Dans ces formules, où Ton a négligé quelques petits termes du second ordre, et où Ton n a pas encore tenu compte des parties dues aux fonctions anastématiques, les coefficients y? et ;- sont des quantités du premier ordre, ne dépendant, du reste, que des rapports entre les protomètres.