CHAPITRE I

Courbes périplégmatiques.

I . Une courbe qui parcourt incessamment lespace entre deux sphères homocentriques, et qui tourne à chaque point sa concavité vers une droite, menée par le centre de façon qu'une perpendiculaire abaissée du point considéré traverse la sphère intérieure, sera appelée courbe périplégmatique.

Fixons à ce centre l'origine des coordonnées.

Généralement, le rayon vecteur d'une courbe périplégmatique atteint, abstraction faite du cas d une courbe tracée sur une troisième sphère bomocentrique et intermédiaire, certains maxima et minima dont les valeurs sont comprises entre celles des rayons des deux sphères; mais il peut aussi arriver que la courbe touche toujours, sans la couper, au maximum de son rayon vecteur, la sphère extérieure, et au minimum, la sphère intérieure. On pourraitdonc distinguer deux groupes de ces courbes: l'un par la détermination spéciale que les maxima et les minima du rayon vecteur soient toujours égaux aux rayons des deux sphères; l'autre groupe renfermera les -courbes qui n'atteignent, à chaque maximum ou minimum de leur rayon vecteur, aucune des sphères entourantes.

Réciproquement, si l'on admet l'idée d'une distance variable entre les deux sphères, on peut caractériser les deux groupes par la constance ou par la variabilité de l'espace dans lequel serpente la courbe périplégmatique, en touchant, sans couper jamais, l'une ou l'autre des sphères, toutes les fois que le rayon vecteur acquiert une valeur maxima ou minima. En nommant diastème la distance entre les deux sphères et en supposant constante la somme de leurs rayons,, on distinguera donc les courbes périplégmatiques à diastème constant de pareilles courbes à diastème variable.

Concevons les courbes périplégmatiques dont la trace ne sort pas d'un plan. Une telle courbe touche à chaque maximum ou minimum de son rayon vecteur l'un ou l'autre des cercles entourants, et elle tourne toujours sa concavité vers une droite menée par le centre de la dite manière ou bien, ce qui revient au même, vers la tangente au cercle intérieur dans le point où se coupent ce cercle et le rayon vecteur.

En désignant par a; et y les coordonnées cartésiennes dans un système convenablement situé et par /7, une fonction qui reste positive, tant que X n'excède pas le rayon du cercle intérieur lorsqu'il est raccourci le plus possible, la condition que la courbe tourne sa concavité vers l'axe de x sera exprimée au moyen de Téquation

Par l'équation (i), on a donc établi, analytiquement, la seconde condition à laquelle doit satisfaire une courbe périplégmatique; la première