Première Partie. Livre I

conditioD, à savoir celle qui concerne la limitation du rayon vecteur, ne peut guère sexprimer, d'une manière aisée, en maintenant les coordonnées rectangulaires. Kemplaçons-les donc par des coordonnées polaires.

Dans ce but, désignons par r le rayon vecteur, par t;, Tangle que fait le rayon vecteur avec une direction fixe et par o), langle entre Taxe de x et la dite direction. Cela posé, nous aurons:

X ^ r cos {v — a))\ y = r sin {v — û>), '

d'où Ion tire, par différentiation,

dx dr . . , .

di^d~v^^^^^~^^~^ ^^^(^ "" "^^^

dv ^ di^^^ {v — w) + r cos {v — û>).

Par division, il en résulte finalement:

dr , , .

, -7- sm (y — €0) + r cos (v — w)

dy dv

dx dr

-j- cos (y — 10) — r sm (y — û>)

De cette expression, on déduit, après avoir effectué une seconde différentiation, et en remplaçant le facteur y- , par son expression en 1; , r et -7- ,

d^r (dr

dx^ ^

dv -'^' + h£)'+''

dr Y

-7- cos (y — ai) — r sin (v — m)\ dv I

Avec les expressions que nous venons d'établir, l'équation (1) prend la forme

\dr

dv^ \dv) r sin (v — ai) '

OÙ l'on peut se figurer H comme une fonction de r et de t;.

Mais l'équation à laquelle nous sommes parvenus, est susceptible d'une simplification assez considérable. En effet, la condition de la concavité non interrompue vers une droite qui passe par le centre dans une direction telle

Traité des Orbites des Planètes.

que X reste moindre que le rayon du cercle intérieur, est évidemment remplie si l'on fait coincider la dite direction avec une droite menée par le centre perpendiculairement au rayon vecteur. Par là, on est autorisé à mettre:

ce qui donne:

Avant d aller plus loin, il conviendra d'établir 1 équation (2) d'une manière différente de celle que nous avons suivie. Dans ce but, désignons par

a l'angle dont la tangente trigonométrique est égale à j- , et rappelons-nous

la formule connue

d*r /dr

da dv^ \dv

dv

\dv)

Figurons- nous maintenant quon ait mené une tangente au cercle intérieur dans le point d'intersection avec le rayon vecteur, et désignons par a^ langle que forme cette tangente avec Taxe des x. En supposant, pour un moment, a^, constant, il sera évident que, si langle a — a^ tend à augmenter avec Vy de sorte que la dérivée de cet angle soit une quantité positive, la courbe dont la tangente forme langle a avec Taxe des rr, est concave vers la tangente au cercle intérieur. Donc, si nous posons:

n étant une quantité positive, nous retrouverons tout-de-suite 1 équation (2). Encore une remarque relativement à la quantité H. En désignant par iJ le rayon de courbure dont l'expression connue est

il I