Première Partie. Livre I
on trouvera trois équations, dont toutefois deux seulement sont indépendantes, la troisième ne formant qu'une simple conséquence des autres. Mais les équations qu'on obtient ainsi sont en même temps les équations du myon vecteur rapportées à des coordonnées rectangulaires, pourvu que le point ^1 ) ^1 j ^1 appartienne à la trajectoire.
Par ce que nous venons de dire, il est facile de voir qu'on fera coïncider le rayon vecteur avec Taxe de rotation du plan instantané, si, après avoir fixé la condition
^1 = o, on établit les liaisons
(6) o = -^+cos^^^^,.
(7) o = hj^—iix^,
dont la dernière sera,> en effet, identique avec Téquation (5), lorsqu'on y met x^ et y^ à la place de f et 37.
En désignant toujours par r le rayon vecteur, et par %Vy l'angle qu'il forme avec l'axe des rr^, de façon qu'on ait:
rCj = rcosi(7; y. = r^mw^
l'équation (7) se remplace par celle-ci:
(8) o — sm \w — a)-T — cos (?«; — o) sm « -,- ,
dont nous ferons usage prochainement.
Après avoir établi l'équation (6), ou bien, ce qui revient au même, celles ci :
1 da . j da j da
dh dh^ dh^
Traité des orbites absolues.
58 Traité des Orbitee des Planètes,
il sera facile de parvenir aux relations
df
dx . dy . dz
dt
dt
dV
dt ~ ^di "•" ^'dt '^^^dt'
dx . dy . dz
d'où Ton tire réciproquement:
(lO)
dx dt
dy
dz dt
a ^ Mb ^\
dt dx.
dt
''-dt^^-dt
Dans ces deux systèmes, les coordonnées jouissent de la propriété remarquable que leurs premières dérivées sont liées au moyen de relations de la même forme, n'importe si les a , ô , . . . sont variables ou constants. (Test en établissant d'abord ces conditions que Hansen parvint aux expressions assez utiles au calcul des formules analytiques donnant les inégalités des planètes, mais qui ne sont plus à tout égard convenables, quand il s'agit d'expressions absolues, c'est-à-dire d'expressions oîi l'on a évité tout développement suivant les puissances du temps.
En retranchant les équations ( i o) de celles qu'on va obtenir en formant les différentielles totales des expressions (i), après y avoir remplacé Vangle a par ^, on retiendra:
da dt
db dt'
da, dt
db,
dt
da, dt
db,
