Première Partie. Livre I
De chacune de ces équations, on pourrait, en ayant égard à l'équation (6), retrouver la relation (8), mais il sensuit encore les rapports
da : rfa, : da^ = db : d\ : db^.
Pour les vérifier, il faut se rappeler les relations qui découlent immédiatement des équations (a), à savoir:
da . da. , da^
dt
di
dt
jdb. j db. . , db^
dt
dt
Ces équations, formant avec les équations (f) deux systèmes, chacun renfermant deux équations avec trois dérivées, on en peut éliminer une dérivée quelconque, et on retiendra ainsi une relation entre les deux autres dérivées. Eu égard aux équations (c"), ou plutôt aux équations en résultant si Ton remplace a par a, ^ par 6, ..., les relations qu'on déduit de la sorte seront obtenues sous une forme très simple: voici les expressions dont il s*agit:
da
^di
da
""-'-Tt-'
da.
dt
dt
''^dt ■ db.
db "" = '^11-' dt
db
db.
db, dt
db.
» dt » dt
Maintenant, si l'on écrit Téquation (5) de la manière suivante:
/ da , da, , da,\ , / db , db, , db,\
° = (^57 + ''' dT + ^» irh + ('^dT + ^> 5r + ^' df^'
et qu'on élimine les dérivées de «i , «3 , 61 , b^ en vertu des équations (g)
Traité des Orbites des Planètes.
et (g'), on reviendra à la première des équations (i i), et de la même manière on retrouvera les deux autres des dites équations.
19. Exprimons maintenant les coordonnées rectangulaires, rapportées aux directions fixes, par le rayon vecteur, par la longitude du point considéré, c'est-à-dire Tangle entre Taxe des x et la projection du rayon vecteur sur le plan immobile, et par la latitude. En nommant l %i b ces deux angles, nous aurons:
X = r cos6 cosZ,
y = /• cos 6 sin / ,
z = r sin 6 .
De l'autre côté, si nous introduisons, dans les équations (1), au lieu de f , 5y , C les valeurs
rr j = r cos w ;
et au lieu de a , yS , ^^ , «j obtiendrons les relations
y^ ^=z r sinWy z^ = o, les expressions de a y b , c y a^
nous
COS b cos l = cos 8 cos {w — a) — cos i sin 6 sin {w — <t),
cos bsinl = sin 0 cos {w — ^) + cos i cos 9 sin {w — a),
sin b = sin i sin {w — ^),
dont les deux premières se remplaceront par les suivantes:
cos b cos (/ — e) = cos {w — a),
cos b sin (/ — 6) = cos i sin (tv — a).
A partir d'ici, je vais employer un caractère spécial j pour marquer le sinus de la latitude, de sorte que j'aurai:
(15) j = sin i sin {w — a);
et, en différentiant cette expression, j'obtiens:
dx ... -.dw
-^ = Sm i cos iW (T)-rr
at ^ * ai
+ . . , ~.di . . . -^.dh
COS i sm [w — a)-r — sm i cos [w — ^) -71 • ^ ' dt ^ ' dt
