Première Partie. Livre IV

le module des fonctions elliptiques étant déterminé moyennant la relation

sA

'Les résultats que nous venons de signaler entraînent quelques remarques.

iPar la relation (22), il est visible que, même dans le cas où A acquiert une valeur extrêmement petite, la valeur de k peut être prise moindre que l'unité; il s'ensuit que les valeurs de Z sont renfermées dans des limites dont lamplitude sera d'autant moins considérable, plus que le nombre 5 sera plus grand. Dans le cas où s est négatif, la valeur du module devient imaginaire; on réduira alors les formules à celles d'un module réel, en employant quelques théorèmes bien connus de la théorie des fonctions elliptiques.

S'il s'agit d'un terme élémentaire du type {A)y le nombre s est une quantité de l'ordre des forces troublantes; on en conclut, en supposant toujours A très petit, de sorte que le module s'approche de l'unité, que la fonction Z sera représentée, par des termes surélémentaires. Mais une telle solution n'étant pas admissible, on conclut que le point de départ des approximations successives n'était pas bien choisi, si toutefois l'on ne veut pas admettre la conclusion non fondée qu'une solution au moyen de fonctions trigonométriques soit impossible.

Lorsqu'une synechie dont le degré est plus grand que zéro, renferme un terme qui a l'apparence de donner naissance à l'inégalité dite libration, les termes coordonnés paraissent d'abord par l'intégration devenir surélémentaires. Cependant, si l'on aborde le calcul de l'inégalité naissant d'un tel terme coordonné en appliquant les formules (21) et (22), on trouvera des résultats acceptables, mais le module acquerra une valeur près de l'unité, à moins que le terme dont il s'agit' ne soit pas d'un degré suffisamment élevé.

128. Considérons maintenant l'équation (20), et cherchons les résultats qu'on en peut tirer, en négligeant les termes en F' , F^ , ... et en admettant que la fonction X ne renferme qu'un seul terme, en sorte que nous ayons:

X =i j'smHy

H étant l'argument av + b. Nous supposons que le coefficient ;* soit une

56B Tfaité fles Ortltes dés Planètes.

*très petite quantité du deuxième ordre, mais nous admettpns aussi le diviseur linéaire o très petit, disons une quantité du premier ordre. Nous distinguons cependant deux cas: dans le premier, nous supprimons la fonction Z dans largument, ce qui revient à négliger les termes d'un ordre plus élevé que le second; dans Taùtre cas, nous n'admettons pas cette simplification.

Cela supposé, nous avons dans le preiùier cas:

(23) -TT ^ — s^ cos'(r ,V — ;^ sin Jî.

En intégrant cette équation itnoyennarit des approximations, on pourra procéder de la manière suivante:

Si Ion admet le développement

et que Ton détermine les diverses fonctions y, en intégratit successivement les équations

^ = —sAcosG.y^, ^ = —sAcosG.y^,

dont la somme évidemment équivaut à l'équation (23), il viendra: y, =^8inF,

Pi = -TT^r^.sin (G + H) — , /^^„ .sin (G — H),

TZ* + TïTi — :jJ7*\^^^^ ■ ■ >

4(2À + aya* ' 4(2À — aya

Il ne sera pas nécessaire d'aller plus loin; car les résultats déjà obtenus montrent qu'on a entamé un développement suivant les puissances

t^reraière Partie. Livre IV. 56Ô

de la quantité «yr^, développement qui peut souvent devenir divergent.

Ce résultat n'a cependant rien d'étonnant, vu que l'intégrale générale de l'équation (23) a pour exposant caractéristique une quantité imaginaire dont

le carré est sensiblement égal à -^ . Le dénominateur du terme faisant

partie de l'expression de F, qui est indépendant de l'argument G, est donc

^S^^ à -^^ — a^, dénominateur, qui dans les résultats indiqués paraît dé-

oÀ

veloppé suivant les puissances de la quantité mentionnée tout à l'heure. Venons maintenant au second cas. En adoptant la notation

et en négligeant toujours les termes en F^ , F% . . . , l'équation (20) prend la forme

(24) Ç + k' C0S2 am$.r = -'-(J^) IX.

Mais c'est une équation de Lamé, et on sait mettre l'intégrale sous la forme

(25) ''=«.''"f+''.''°^iiiij+ifi

c, et c^ étant les deux constantes d'intégration qui dans notre cas sont surabondantes.

Voilà un résultat qui est bien différent de celui que nous venons d'obtenir par l'intégration de l'équation (23): l'exposant caractéristique est devenu égal à zéro, et on obtient, en conséquence, le terme dépendant de H seul, ou du moins sa partie principale, moyennant deux intégrations linéaires.

Mais le résultat auquel on est parvenu de la sorte, doit-on le considérer comme une vraie approximation, c'est à dire comme une approxi-

Traité des orbites absolues. 72

à7Ô Traité des Orbites des Planètes.

mation par laquelle on n'aura pas de développement divergent? En général, ce n'est pas ainsi. En effet, si l'on revient à l'équation complète (20), et qu'on y suppose toujours la fonction X consistant en un seul terme, on verra naître des développements qui procèdent suivant les puissances d'une fraction dont le numérateur est une quantité du quatrième ordre, et le dénominateur, le carré du coefficient a. Ce développement peut être convergent, il est vrai; mais dans le cas des termes élémentaires, où a est une très petite quantité de l'ordre des masses troublantes, il peut facilement être divergent.

Pour corroborer l'assertion que je viens de formuler, je rappelle une équation que j'ai déduite à une autre occasion.^ Cette équation, étant au fond une transformation de l'équation (20), peut être mise sous la forme suivante

^^^) ^ + ^'cos2amf.î/ — 896o(^yy^î/^+ 192 ^.«/^ — gôy^f/^^)

oïl l'on a, toutefois, négligé quelques termes insignifiants et inutiles.

Par cette équation, on est à même de conclure que les approximations qu'on entame en intégrant l'équation (24), ne sont pas nécessairement convergentes, et qu'elles forment, en effet, des développements de la nature mentionnée.

Cette conclusion reste à fortiori en vigueur dans le cas où la fonction X est représentée par un agrégat périodique. Si cet agrégat est infini, déjà la première approximation peut donner naissance à un développement divergent. En conséquence, le résultat obtenu par l'intégration de l'équation (24), ne convient pas toujours à une vraie approximation, bien qu'il puisse, dans certains cas, être très approché du résultat exact. Surtout lorsqu'il s'agit ou de termes élémentaires ou de termes critiques ou enfin de termes en même temps élémentaires et critiques, l'équation (24) pourra conduire à un résultat tout à fait erroné.

D'autre part, si l'on forme l'équation aux variations des divers termes de l'équation (26), ou plus simplement, si l'on établit l'équation

* Nouvelles recherches etc., § 6, n® ii.