Première Partie. Livre IV
(27) 0+(A'co82amf-/-)y = J?'.y-l(^)x,
f étant une constante positive convenablement choisie, et Fy la fonction 8p6o(^)Vy-.9aiL,.|+,6/(g)--A
cette équation nous fournit, si F est d abord mis égal à zéro, le point de départ qui conviendra aux approximations successives. La constante f peut être prise à volonté; il convient toutefois de la choisir suffisamment grande pour rendre la valeur de F toujours négative.^
L'intégration de Téquation (27) s'opère, lorsque le second membre est égal à zéro, suivant la méthode donnée par M. Hermite dans son célèbre mémoire DSur quelques applications des fonctions elliptiquesD.
129. Les procédés par lesquels on est parvenu, dans les ^nouvelles recherches etc.» à l'équation (26) étant très compliqués, je vais les remplacer ici par une méthode très simple, méthode qui ne nous conduira pas, il est vrai, à l'équation (26), mais bien directement à l'équation (27).
D'abord, en mettant toujours T égal à Z + -Vy je divise l'équation
(18) en deux autres de la manière suivante:
^'-f = -^(i-2^)sin((? + 5Z),
dv
^'\=—sA cos {G + sZ),V+ sA sin {G + sZ){V' — g)
+ - 5^ cos (G + sZ) F« — . . . — - Z, 3 2
g étant une constante positive dont la valeur soit comprise entre o et
- , et qu'il faut choisir convenablement. Evidemment, la somme de ces deux
équations équivaut à l'équation (18).
Ensuite, en déterminant le module elliptique moyennant la relation
' Nouvelles recherches etc., § 6, u° 12.
572 Traité des Orbites des Planètes,
nous aurons:
(30) G'YsZ=2 am^(;iv + B)
= 2 am f .
Cela étant, nous allons introduire, dans la seconde des équations (28), une nouvelle inconnue y, en établissant la relation
(31) ^ = ^+4^'^) «^'^2^'°^' d OÙ il s ensuit
Avec ces expressions, et en considérant la relation on obtiendra:
cos 2 am Ç — - j- —ri 2/
I qh* k* = 7 — Ta cos 4 am f . y + ^' sin 2 am f . ?/^ + • • •
i ai* . ;^ , 3 ^^* . ^ I ^^* . sin 2 am f + 0 ^^^ 4 ara c — 5 7—^^ r« sin 4 am c + ...
équation qui, en désignant par ^- — (i + m) la partie constante du
développement, suivant les multiples de^f, de la fonction — - — cos2amf, et en mettant:
