Première Partie. Livre I

Les formules précédentes ne changeraient pas beaucoup si Ton avait mis

(43) ?=^a + gvy

au lieu des équations (38) et (39), g étant une nouvelle constante du même ordre que g^. En effet, Téquation (40), les neuf équations (D), (D'), (D"), ainsi que les équations (41) et (31') et la première des équations (30') restent inaltérées; c'est seulement lequation (42) et la seconde des équations (30') qui subissent une modification, du reste peu considérable. Nous avons maintenant:

} = sin i sin (t; — 9 — (r),

^= (' +^sinicos(j; — e — (?),

ainsi que l'expression suivante de la vitesse N:

23. Le problème que je me propose finalement d aborder dans le chapitre présent, est celui-ci:

Etant donnée, par un agrégat périodique, la fonction j, trouver les expressions des fonctions trigonométriques de B et de i.

Mais, comme il s'agit principalement de mettre en évidence les termes élémentaires que nous supposons contenus dans les expressions cherchées, admettons dès le début qu'on ait la fonction j donnée par le développement

(47) j = tsm{(i + z)v — @) + ijsin((i + t,)v ~ S^) + ...j

les Cy ainsi que les r et les S y étant des constantes, dont i et les premiers ij , (j , . . . sont de Tordre des inclinaisons des diverses arbitraires planétaires, les r, de l'ordre des forces troublantes, et les 5, des angles quelconques. Quant aux constantes i et 0, nous les supposons engendrées par l'intégration d'une équation différentielle du second ordre donnant naissance à la fonction j.

72 Traité des Orbites des Planètes.

Etablissons d'abord les formules

Icos{ii — &) = (-{- G{t, r, — r 0 — S,){v), / sin (û — 0) = — S{c. t. — tQ— S,){v),

et nous aurons:

(49) i = Ism{{i +t)v— ii).

Puis, en différentiant cette équation, nous aurons un résultat de la forme

^= Jcos((i +z)V-ii) + {C),

dv

(C) étant une fonction de la même nature que la fonction (A), introduite dans le n° 13.

Maintenant, si nous introduisons, dans les équations (46), les expressions obtenues, nous parviendrons aux résultats que void:

sin i sin {v — 9 — (?) = /sin ((i + t)v — Q),

sin t cos (1; — e — G) = I cos ((i + r)v — Q) + ((0),

où Ton a admis la notation

(52) m) = 7^^-^ + (tT^- i)Jcos((i + r)v - Q).

Des équations (51), on déduit facilement lexpression suivante

(53) cosi = v/i — i^— 2((0)/cos((i + r)v—ii) — ((0)^

formule, en vertu de laquelle la première des équations (19) se transforme en celle-ci:

dl

I — /*siii((i + T))v — ay

(i + g)dv.

Moyennant les deux formules (53) et (54), on parvient à déterminer les deux fonctions cosi et l en termes connus, toutefois la très petite quantité ^, dont on trouve d ailleurs facilement une valeur approchée, est