Première Partie. Livre I
encore indéterminée. Ayant trouvé l'expression de /, on formera d'une manière assez directe celles des coordonnées x ^y yZ, vu quon a:
cos h = sj\ — j* ,
Mais il conviendra d exprimer, par des termes trigonométriques connus, aussi les fonctions sinisine et sinicose. Pour y arriver, établissons d abord l'expression de la deuxième dérivée de la fonction j. On obtient facilement:
^* = — (i +'^) sini sin (t; — e — (?)
+ (i+.^)sinisin(t;-e-G)(^ + ^)
di
+ (ï + 5^) COS i cos (t7 — e — ^) j- i et, si Ton se rappelle la relation
de . (10 .de
dv * dv dv ^^
d^\ 6n trouvera, en ajoutant à l'expression de - \ celle de j,
(55) y +3 = ~^^^ + 9)sinêsin(t; — e— G)
+ ( i + .7) sin i cos i sin (v — 9 — 60 T"
di H" (ï +9) cosicos {v — e — ^) 3- i
et puisqu'on a:
on obtiendra les deux formules
(*yj + j) cos(t?— e — (?) = —Ji{2 +^)sinisin(i^ — 0 — 60cos(î; — e — 6r)
o = — sin i cos i cos (v — 9 — G) -,- + cos i sin (v — 9 — G)-t y
^ ' dv ^ ' dv
+ (i +.^)cos*rf^'
(1* + 0 '''^° {v-Q-G) = -^(2 + <7)smism (j;-e- (?)'
Traité des orbites absolues.
+ ( I + /7) Sin t COS î -7- .
. dv
En multipliant la dernière de ces relations par sini et en la divisant par (i +^9)cosi, il résultera, en vertu de la première des équations (51),
sm
^^de ^IsiniJi + T)v — Û) /(^^ \ (/(2 + (/)/«8in((i + r)i;~i?)* dv (i4-^)cosi \fiv' ' V (i+^)cosi
Cela étant, nous nous rappelons la formule
dG , ..de -
2 \^4 dv ^'
..de
en y introduisant la valeur précédente de sini^-^ , ainsi que celles des fonctions sini^, sint*, . . . , nous aurons:
-\-g{2 +g)P sm{(i + r)v—iiy\ — g,
d'où il sera facile de déduire, en déterminant la constante g de manière à
annuler le terme constant dans le développement de y^ , l'expression de la
fonction G en termes périodiques.
Cette fonction évaluée, rien n'empêche plus d'établir, en termes connus, les expressions des fonctions cherchées
Isin i sin 0 = — Jsin (n; — i2 + G) -f ((O) sin {v — G), sin i cose = 7cos(rv — Q + G) + {(O) cos(î; — G).
Ensuite, des équations (41), il sera aisé de tirer les suivantes
I cos 6 cos / = cos {v — (?)+•( I — cos i) sin {v — 9 — G) sin 6 , I cos6 sin / = sin (t; — G) — (i — cosi) sin (v — 9 — G) cos9,
