Première Partie. Livre I

doù Ton obtient:

cos bsm{l — v) = — sinG — ( i — cos i) sin {v — 9 — G) cos {v — e), cos 6 cos (/ — v) = cos G — (i — cosi) sin {v — e — (?) sin (v — e).

On conclut facilement de ces dernières relations que la différence l — v s exprime par un agrégat périodique, tant que G est une petite quantité du même degré que les fonctions i — cos i et i — cos b . On pourra donc parvenir, de deux manières différentes, à la résolution du problème énoncé: en déterminant la fonction / par Tintégration de la formule (54) et encore, en évaluant la fonction G en vertu de Féquation (57). Ayant obtenu, au moyen des équations (58), les fonctions sini sin^ et sin i cos ^, on trouvera, en utilisant les équations (60), les fonctions sinG^ et cos(t, si la différence / — V est connue, ou bien, cette différence, si Ton a déterminé d abord la fonction G.

24. Je vais terminer ce chapitre en expliquant quelques termes nouveaux que je crois utile d*introduire.

La hauteur au dessus du plan fixe, à laquelle monte la trace d'une courbe périplégmatique, sera nommée Vanastème de cette courbe. Or, lanastème étant donné, du moins approximativement, par Texpression

ri,

r et I ayant les valeurs que prennent ces fonctions, lorsque l'argument (i + 7)^ — «2 est égal à un multiple impair du quart de la circonférence, j'appelle la fonction I fonction anastématique et, Tai^ument envisagé, argu^ ment anastématique.

Les hypothèses que nous venons dadmettre, dans les recherches précédentes sur les courbes périplégmatiques, nous ont conduit à exprimer le rayon vecteur ainsi que les coordonnées rectangulaires, rapportées à des directions fixes dans lespace, comme fonctions de certaines longitudes, dont la signification est immédiatement claire. Ces longitudes, étant employées très fréquemment dans Tasti'onomie, je les nomme arguments astronomiques. Mais, par cette dénomination, j'entends encore tout autre argument dont la différence avec un argument qui par sa nature est immédiatement astronomique, s'exprime par un agrégat périodique. Deux arguments, liés de la sorte l'un à l'autre, seront appelés arguments isocinétiques.

76 Traité des Orbites dee Planètes.

Il peut arriver que Tagrégat périodique, formant la différence entre deux arguments isocinétiques, ne dépend que de ces deux arguments euxmêmes; dans ce cas, je dis que les deux arguments sont Iwmorythniques. parce que tous les deux augmentent, simultanément, d*un multiple de la circonférence. Dans ce sens, les arguments képleriens, Tanomalie vraie, l'anomalie excentrique et lanomalie moyenne sont des arguments homorythmîques.

On comprend facilement qu'une série trigonométrique dépendant d'un certain argument peut être transformée de manière à ne dépendre plus que d'un autre argument, homorythmique avec celui-là; mais il arrive aussi, même le plus souvent, que des arguments isocinétiques peuvent se remplacer, Tun par l'autre. ' Au contraire, deux arguments, non isocinétiques ne peuvent pas se remplacer, l'un l'autre.

Envisageons maintenant le cas simple où la fonction diastématique ainsi que la fonction anastématique ont des valeurs constantes. Pour que cela puisse avoir lieu, il faut que les coefficients x, , jif^ , . . . , que j'appelle coefficients diastématiqueSy ainsi que les coefficients «i , «.^ , . . . , que j'appelle coefficients anastématiques, aient des valeurs égales à zéro. Il s'ensuit que les fonctions ly et / prennent alors les valeurs

valeurs que je nomme module diastématique et module anastématique. Dans le cas envisagé, le diastème est constant, mais l'anastème, variable, pourvu qu'on n'ait pas le module diastématique égal à zéro, ce qui entraînerait une valeur constante du rayon vecteur.

En supposant x et t différents de zéro, mais toujours, les coefficients diastématiques et les coefficients anastématiques égaux à zéro, les arguments entrant dans les expressions des coordonnées rectangulaires rapportées aux directions fixes, seraient au nombre de trois: la longitude du rayon vecteur comptée dans le plan instantané, la longitude d'une des apsides et finalement, la longitude d'un des noeuds du plan instantané sur le plan fixe.

Le rayon vecteur, ne dépendant que de la différence entre sa longitude et celle de l'apside, différence que je nommerai argument diastématique , son expression analytique est visiblement indépendante de la direction à partir dé laquelle on compte les arcs; il est même indifférent si cette direction est invariable ou non.