Première Partie. Livre I

on aura en vertu de Téquation (2) lexpression que voici:

On conclut facilement de cette formule que moins la courbe périplégmatique s'écarte d'un cercle, plus approché de lunité sera le facteur U.

Eevenons maintenant à Téquation (2) afin de chercher Texpression analytique de la condition que le rayon vecteur soit compris entre des limites finies.

Kéquation dont il s'agit se met facilement sous la forme que voici:

OU bien, si l'on désigne par p une constante, elle s'écrit aussi:

Faisons-y:

P et P étant des nouvelles fonctions remplaçant r et U] nous aurons de la sorte

Maintenant, si par l'intégration de cette équation, il résulte une expression de p dont la valeur reste au dessus de — i et ne dévient jamais infinie, le rayon vecteur ne sortira en dehors des deux limites finies. En conséquence, lequatîon entre p et v, obtenue par Tiatégration dont il a été question, ou plutôt, Téquation entre r et t; qui çn résulte se construit géométriquement par une courbe périplégmatique.

Pour avoir une valeur toujours positive de /?, il faut que celle de P surpasse constamment — i . La courbe définie par Téquation (5) sera donc uue courbe périplégmatique, si Ion a toujours:. \

8 Traité des Orbites des Planètes.

Voilà les conditions primaires auxquelles il faut satisfaire nécessairement^ mais on peut leur donner une précision encore plus grande. En effet, pour que le rayon vecteur soit susceptible de maxima et de minima,

il faut que la seconde dérivée -7^ prenne alternativement des signes opposés,

d'où suit la condition que les valeurs de P — p doivent osciller autour de zéro. Mais malgré cette restriction ultérieure, la fonction P reste considérablement arbitraire, de sorte qu on peut la choisir de plusieurs manières assez différentes. Nous allons donc examiner, succinctement, les divers types auxquels il y a lieu, dans la théorie des mouvements des corps célestes, de ramener cette fonction.

. 2. L'équation (2) se dégage du terme dépendant de la première dérivée si Ion y introduit, au lieu de v, une nouvelle variable indépendante r dont la relation à v est exprimée par Téquation

dv =^^ dvy c étant une constante. On obtient de la sorte, en effet, Téquation

En supposant que U soit une fonction de r seul, Téquation signalée admet une intégrale, à savoir:

où Ton a désigné par h l'arbitraire introduite par rintégrfttion.

dr Pour étudier la nature des maxima et des minima, faisons d abord -r