Première Partie. Livre I
méthode dont nous parlions, amenait à considérer des courbes plus générales que Tellipse comme orbites absolues des planètes.
Des découvertes de Kepler, il s'ensuit toutefois un résultat, inaltéré par des observations s étendant sur plusieurs siècles, et dont le maintien se confirme par des considérations théoriques: ce fait, demeuré intact parmi les conceptions de Kepler et s'appliquant aussi à la théorie des orbites absolues, le voici:
Si Von admet, entre le temps et la longitude d'une planète, la relation
dt = —=:dv,
sic
et que l'on porte, dans cette formule, l'expression de r que nous avons donnée dans l'expression (43) du chap. I, la fonction c' sera approximativement égale à
tia(\—yj%
[i étant une constante dont la valeur est à peu près égale pour toutes les planètes de notre système solaire.
En conséquence, si Ton désigne par C une fonction de t , telle qu'on ait rigoureusement:
(0 dC = 4- ^^^i^^ -^rf.,
slfi{\ -7jC09{{i —ç)v — 7r)y le rapport
dt
sera toujours à peu près égal à l'unité.
C'était pour obtenir la forme indiquée de la fonction c qu'on a admis l'équation {43) du chap. I, exprimant le rayon vecteur dans l'orbite absolue.
26. H s'agit maintenant de trouver l'intégrale de Téquation (i).
Pour y arriver d'une manière aisée, désignons la constante y//ia * par n, l'argument diastématique (i — ç)v — tt, par F, et introduisons, au lieu de F, un nouvel argument, homorythmique avec F et, en conséquence, astronomique. Désignons le nouvel argument par E , et établissons les relations
/K ^ cos E — » . -c, yji — w' sin E
(2) cosF = ^- , sm F = ^ ^- —
I — îy cos B I — 7] cos E
80 Traité des Orbites des Planètes,
il sensuit réciproquemment les équations
-r^ COSF + Y) . ^ i/l — w*8in F
cos E = — ; ^ , sin E =: - — ; — ^ ,
I + 5y ces F ' I + 3y cos F
I I — 7f cos E
I + î; cos F "~" I — jy* '
dont la dernière entraîne l'expression
(3) r = a(i — 7j cosE)
remplaçant Téquation (43) du chap. I.
Qu'on remarque lanalogie des relations (2) et (3) avec les relations correspondantes de la théorie elliptique. Seulement, la quantité tj n'est plus, dans la théorie des orbites absolues, une constante, mais bien, une fonction élémentaire du type {A).
On déduit d'ailleurs Téquation suivante, aussi analogue à une formule très connue de la théorie elliptique,
(4) tangip==y/i±^tangiE.
Maintenant, si Ton multiple Téquation (i) par (i — c), et qu'on désigne, comme dans le chap. I, Fangle (i — ç)v — F par /*, il viendra:
^ '^ (i + lycosF)'
(I —7jcosE)\lf
En différentiant la première des équations (2), on aura facilement, en vertu de la relation
la suivante:
(df — d(7r — r)) smF = -. ^-^ — FïTâ^B + ; ;^tt^^;
^ ^ (I— îycosE)'* ' (I— lycosE)'' ''
