CO8E "^ v^i -7«(i -,co8E

Avec cette valeur de df, on déduit de l'expression précédente de dC la suivante:

(I - ç)ndC= (I - rj cos^dE + 0 " ?<^08E)sinE^^

v/i —7* Supposons maintenant:

(5) (^i—ç)nC+ A — 7r = E — 7j sin E — (i — ç)X,

A étant une constante arbitraire, introduite par Tintégration ; la fonction X s'obtiendra alors en réintégrant la dérivée totale de la formule hypothétique (5), après en avoir retranché la partie donnée par lequation précédente. On trouvera de la sorte, en considérant la relation

fr] cos ErfE = 97 sin E — fsin Edrj ,

l'expression que voici:

/ \ V A2 — V cos E — w') sin E , (. - ç)S = -J ,/ ^V

Cette formule, n'étant pas, cependant, assez commode, on la remplace facilement par une autre, mieux préparée au développement, en série trigonométrique, de la fonction cherchée. En effet, si nous considérons les formules

drj = cos {tc — 0^(7 ^^s (^ — ^)) + sin (;r — 0^(7 ^in {tt — F)) , 7jd{7r — F) = cos {n — F)d(7j sin (;r — /')) — sin (tt — F) d{7] cos {n — F)) ,

Traité des orbites absolues. \\

y/i — 7j^[2 + î7CoaF}sinF8in(;r— l^d(7iam(7: — D) (I + îycosF)*

ces (r — /^^(^ si^ (^ — ^))

82 Traité des Orbites des Planètes.

très faciles à vérifier, dous aurons, en remplaçant l'argument E par F, au moyen des formules (2'):

. . V , \ Y - /^y/i — ^'{2 + ?ycosF}8inFco8(n-— r)d(^C08(;r — F))

\ ) \^ V -= J (I + îycosF)*

- , ^\~'''^\. 1 1 sin (;r — r)d(7] cos (r — D). 71 (I + jycosF)* j ^ ^ ^' ^ ^^

Pour effectuer les intégrations qu'exige cette formule, il faut avant tout quon ait établi le développement de la fonction (i +î7C0sP)'"^, suivant multiples de F, et notamment qu'on ait mis en évidence la forme suivante du dit développement:

(7) (i+VcosV^ I +B,co8F+2B,cos2F + 3B,cos3F+...,' les B étant des fonctions de tj seul.

* On déduit, par un calcul assez simple, les développements

B.= 3i:(.-,-)'(.+f^,-+?Tij^,-+...),

ainsi que l'identité