Première Partie. Livre I

Si Ton porte, dans Téquation

^ ^ ^ ^ (I + :ycosF)*

le développement (7), hypothétique encore, il est vrai, mais qui est ti-ès facile à vérifier, on aura, en intégrant et en désignant la constante arbitraire par A,

(9) (i — ç)nC+ A — 7r=¥ + B, sinF + B, sin 2F + . • .

— fD[B^ sinF + B, sin2F + ...},

où l'on a indiqué, par le symbole Z), une différentiation se rapportant seulement aux fonctions rj sin (n — ^) j 7 cos(;r — F) et yj^y ainsi qua leurs puissances et produits, mais où Ion considère Tangle F comme constant. Maintenant, si Ion admet la notation

Téquation (5) prendra la forme bien connue de Téquation de KIpler, savoir:

(II) G = E — lysinE;

et puisque la relation entre les arcs E et F est la même qu entre lanomalie excentrique et l'anomalie vraie, seulement que 3y, dans les formules (4) et (11), est une fonction élémentaire du type (-4), la relation entre G et F doit être celle quon connut déjà de la théorie képlerienne. Il s'ensuit que, si Ton différence les relations mentionnées, en y considérant rj comme constant, on retrouvera les développements connus. Donc, si Ton pose:

E — oy sin E

/ I + îy cos F '

on doit, en intégrant le second membre, traiter tj comme une constante. Les développements des relations entre les trois anomalies ont beaucoup occupé Hansen. Pour lui, cependant, il ne sagissait que de trouver les coefficients sous une forme permettant de calculer, aisément, leurs valeurs numériques, Texcentricité de l'orbite supposée constante, tandis que, dans la théorie des perturbations absolues, on les demande sous forme de séries

84 Traité des Orbites des Planètes.

procédant suivant les puissances de oy^. On pourrait, il est vrai, tirer ces développements des expressions de Hansen, mais on les déduit, plus aisément, d'une manière directe.