Première Partie. Livre I

qu'une seule racine positive, ni une racine égale à zéro non plus, la courbe définie par l'équation (5) n'atteindra jamais un maximum.

Mais l'équation (8) peut avoir plusieurs racines positives. Or, s'il y en a deux ne renfermant pas entre elles une troisième, lesquelles rendent le résultat de leur substitution dans la formule

alternativement positif et négatif, ces deux racines établissent un maximum et un minimum du rayon vecteur. Et encore, ce maximum et ce minimum ne dépendant que des constantes sont les seuls que peut atteindre le rayon vecteur, de sorte que la courbe dont il s'agit touchera alternativement les deux circonférences dont les rayons sont constants. Dans ce cas, la courbe définie par Téquation (5) est donc une courbe périplégmatique à diastème constant. Maintenons Thypothèse que l'équation (8) admette deux racines positives dont l'une corresponde à un minimum, et l'autre à un maximum de r, désignons-les par r^,*et r,, et mettons finalement l'équation (8) sous la

forme

F{r) étant une fonction de r qui ne prend pas la valeur zéro, ni une valeur infinie autant que r reste entre r^ et r^. Cela étant, l'équation (7) s'écrit ainsi:

, F(r)dr

dz = .- — ,

V(r-rJ(r,-r)

ce qui entraîne la suivante

(iv = y. ;

et si l'on admet la notation

yfcF(r)dr

V signifiera l'angle entre deux apsides, en entendant par ce mot la direction vers un maximum ou vers un minimum du rayon v^ecteur.

Traité des orbites absolues, 2

10 Traité des Orbites des Planètes.

Par la formule précédente, on conclut immédiatement que Tangle entre deux apsides consécutives est toujours constant, propriété des courbes eu question, reconnue déjà par Legendre. Mais, puisque cet angle n'est qu'exceptionnellement multiple ou une partie aliquote. de la circonférence, les apsides tombent dans toutes les directions, de sorte que la ligne périplégmatique se coupant, elle même, une infinité de fois, forme un réseau entre les deux cercles.

Evidemment, la nature périplégmatique d'une courbe définie par l'équation (5) est due aux valeurs de 77 oscillant autour de l'unité. Or, si l'on a posé:

cette propriété de II tient d'abord aux variations du rapport - ayant l'unité

pour valeur moyenne, mais elle provient encore des changements de la fonction P qui pourraient s'écarter des deux côtés de zéro. On retrouve ainsi, après avoir introduit la fonction p au lieu de r, la condition signalée vers la fin du n^ précédent.

Il sera quelquefois utile d'introduire une troisième variable indépendante. Désignons-la par w, et par y?, une constante à choisir plus tard. Admettons finalement la relation suivante entre t; et w:

du = — p dv.

ce qui entmne celle-ci entre « et r:

et nous aurons au lieu de l'équation (7) la suivante:

11 convient d'ajouter celle-ci

qui s'obtient immédiatement en remplaçant w ou r par v.