Première Partie. Livre I

Quant aux coefficients avec des indices négatifs, il suffit de faire, pour les obtenir, la remarque que voici:

Par la définition de la fonction X^^\ il est évident qu'on a:

or, en inti'oduisant, dans cette équation, les développements (21), on aura sur le champ:

Donc, les coefficients dont le second indice supérieur est négatif, S'obtiennent en mettant, dans les expressions précédentes, — w au lieu de m . On a encore, évidemment.

Les f , ne dépendant que des nombres entiers, on peut les calculer numériquement une fois pour toutes: on en trouve les valeurs, rassemblées dans une table jointe à ce volume.

31. En considérant que les fonctions X'^^ et 1^^ s expriment au moyen des formules

il sera facile de trouver une formule ^ destinée à ramener Tune à l'autre, les deux fonctions dont il s'agit.

En effet, si l'on intègre, par parties, la seconde des formules signalées, on trouvera tout d* abord celle-ci:

Ttn + u J

d'où l'on conclut, en la comparant avec l'expression précédente de X, la relation

Traité des Orbites des Planètes.

En substituant, dans cette équation, les expressions de Y^^^ et de Xi"'''''^ données par les équations (19) et (21), on parvient immédiatement à la formule

qui permet de calculer les s,, les f, étant donnés. Réciproquement, si les £, étaient connus, on trouverait, en utilisant la formule signalée, les f,. Les deux groupes de coefficients étant évalués indépendamment, la formule établie sert à vérifier les calculs.

Supposons, dans un premier exemple, quil s'agisse d'évaluer le coefficient sl'\

On a d'abord, en vertu de l'expression de ^^'^:

c'est à dire, l'expression donnée dans le n° 29.

Dans notre second exemple, nous nous proposons de calculer le coefficient $^'\ L'expression du coefficient ^j"^ nous donne, en la portant dans l'équation (23), celle-ci:

d'où l'on tire^ après avoir réduit les diverses fractions au même dénominateur:

+(15.64.7'— 5.1680.7 + 17780);.* + (20.64.7'— io.i68o.7'+4.i778o.7 — 96565)^° +(15.64.7*— io.i68o.7» + 6.i778o.7'— 3965657 + 281743)/» + (6.64.7»— 5-i68o.7*+4.i778o.7»— 3.96565.7' + 2.28i743.7