Première Partie. Livre I
3. Elucidons par quelques exemples les formules que nous venons de déduire dans le n** précédent.
En admettant d'abord la fonction fl égale à zéro, l'expression (3) donnant le rayon de courbure sera infinie. Il en suit que la trace déterminée par l'équation (7) est une droite.
Cherchons ce résultat d'une autre voie.
Puisque la condition que U oscille autour de l'unité n est pas satisfaite, on est certain dès le début que la trajectoire n appartient pas à la catégorie des courbes périplégmatiques. Mais voilà seulement un résultat négatif: pour dévoiler la nature de la courbe, examinons Téquation (4) après y avoir annulé la fonction U. En désignant par c^ et c^ les deux constantes d'intégration, on obtient
ou bien, si l'on met:
- = c^ sint; + Cj cosî;,
a? = rcosv; y = rsinv,
CTest là l'équation d'une droite.
Etablissons encore l'expression de r en retenant r comme variable indépendante.
Si Ton met, dans l'équation (7), /7 égal à zéro, et qu'on écrive — A au
lieu de A, elle s'écrit ainsi:
rdr ,
v/Ar* — c
donc, en désignant par — hz^ une arbitraire, la relation finale entre r et r sera:
Ce résultat permet une construction géométrique assez simple: en effet, r est hypoténuse d'un triangle rectangulaire dont les cathètes sont y 7 et
(r — ^o)^*- On peut donc placer le système des coordonnées rectangulaires de manière qu^on ait:
12 Traité des Orbites des Planètes.
Supposons dans un second exemple II égal à - . En introduisant cette valeur dans Téquation (9), il viendra:
I (dry __ h ^ 2r
et on en tire, après avoir égalé à zéro le second membre de cette équation,
iih yii y c
La condition qu'il faut remplir pour avoir toutes les deux racines réelles et positives, s'exprime au moyen des inégalités
ou bien, eîi mettant:
par celles-ci:
La formule précédente donnant les deux racines se change donc en la suivante:
et on obtiendra, après avoir adopté les valeurs
^ = yjâ] c — a{i — e^) l'équation
du =
dr ae
Dans notre troisième exemple, nous allons admettre fi étant un coefficient constant.
